Ischo_Tatiana писал(а):
nina216 писал(а):
Добрый день! Вчера завершился прием письменных работ для участия в отборочном этапе олимпиады им. А.А.Натана, проводимой Физтех-школой прикладной математики МФТИ. Одна из задач отборочного этапа была по планиметрии:
В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке L. Касательная к окружности, проведенная из середины стороны AB, пересекает окружность в точке F. Продолжение прямой CF пересекает сторону AB в точке Q. Доказать, что ML=MQ, где M-середина стороны AB.
Долго пыталась справиться с данной задачей, однако доказать утверждение задачи так и не получилось.
Решала при условии того, что не
пересекает , а
касаетсяМожно проще показать, что `BQ_(1)=AL`:
Треугольники `A_(1)CB_(1)` и `ACB` гомотетичны с центром гомотетии в точке `C`.
Точка `L_(1)` - точка касания внеписанной окружности треугольника `A_(1)CB_(1)`, поэтому
точка `Q_(1)` - точка касания внеписанной окружности треугольника `ACB`. Получаем, что
`BQ_(1)=p-b=AL`.