Математика. Подготовка к ЕГЭ. Решение задач.
http://alexlarin.com/

Задача по планиметрии (из олимпиады имени А.А.Натана)
http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=672&t=16490
Страница 2 из 2

Автор:  nina216 [ 13 мар 2019, 08:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача по планиметрии (из олимпиады имени А.А.Натана)

Ischo_Tatiana писал(а):
nina216 писал(а):
Добрый день! Вчера завершился прием письменных работ для участия в отборочном этапе олимпиады им. А.А.Натана, проводимой Физтех-школой прикладной математики МФТИ. Одна из задач отборочного этапа была по планиметрии:
В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке L. Касательная к окружности, проведенная из середины стороны AB, пересекает окружность в точке F. Продолжение прямой CF пересекает сторону AB в точке Q. Доказать, что ML=MQ, где M-середина стороны AB.
Долго пыталась справиться с данной задачей, однако доказать утверждение задачи так и не получилось.

Решала при условии того, что не пересекает , а касается


Шедеврально !!! Преклоняюсь перед Вашим талантом, уважаемая Татьяна Владимировна! Большое спасибо за помощь!

Автор:  nina216 [ 13 мар 2019, 08:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача по планиметрии (из олимпиады имени А.А.Натана)

vyv2 писал(а):
nina216 писал(а):
Добрый день! Вчера завершился прием письменных работ для участия в отборочном этапе олимпиады им. А.А.Натана, проводимой Физтех-школой прикладной математики МФТИ. Одна из задач отборочного этапа была по планиметрии:
В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке L. Касательная к окружности, проведенная из середины стороны AB, пересекает окружность в точке F. Продолжение прямой CF пересекает сторону AB в точке Q. Доказать, что ML=MQ, где M-середина стороны AB.
Долго пыталась справиться с данной задачей, однако доказать утверждение задачи так и не получилось.


Вложение:
13.png

OFML -дельтоид.
`/_OFM=/_OLM=/_LFQ=90^o`
Значит вокруг треугольника LFQ можно описать окружноть с диаметром LQ.
Следовательно, LM=MQ.


Простите, не поняла, исходя из чего сделан вывод, что угол LFQ равен 90 градусов?

Автор:  OlG [ 13 мар 2019, 17:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача по планиметрии (из олимпиады имени А.А.Натана)

Ischo_Tatiana писал(а):
nina216 писал(а):
Добрый день! Вчера завершился прием письменных работ для участия в отборочном этапе олимпиады им. А.А.Натана, проводимой Физтех-школой прикладной математики МФТИ. Одна из задач отборочного этапа была по планиметрии:
В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке L. Касательная к окружности, проведенная из середины стороны AB, пересекает окружность в точке F. Продолжение прямой CF пересекает сторону AB в точке Q. Доказать, что ML=MQ, где M-середина стороны AB.
Долго пыталась справиться с данной задачей, однако доказать утверждение задачи так и не получилось.

Решала при условии того, что не пересекает , а касается
Подробности:
Изображение


Можно проще показать, что `BQ_(1)=AL`:

Треугольники `A_(1)CB_(1)` и `ACB` гомотетичны с центром гомотетии в точке `C`.

Точка `L_(1)` - точка касания внеписанной окружности треугольника `A_(1)CB_(1)`, поэтому

точка `Q_(1)` - точка касания внеписанной окружности треугольника `ACB`. Получаем, что

`BQ_(1)=p-b=AL`.

Страница 2 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/