Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Олимпиады » Математика




 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 15 ] На страницу 1, 2  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Разминка 10.
 Сообщение Добавлено: 18 янв 2013, 22:50 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 май 2012, 19:10
Сообщений: 1176
Новая разминка.

Задача 1.

Решить матричное уравнение `X+SX+XS=A` , где S и A - матрицы размера nxn и `S^2 =0`.

Задача 2.

Решите систему:

`{(sqrt(x^2+1)+sqrt(y^2+4)+sqrt(z^2+1)=5),(x+y+z=3):}`.

Задача 3.

Можно ли число `pi` представить как `lim_(n to infty) (sqrt(k_n)-sqrt(m_n))` где `{k_n}` и `{m_n}` - последовательности натуральных чисел?

Задача 4.

Докажите, что уравнение `nx^n-x^(n-1) /e^n -x^(n-2) /e^(n-1) - cdots -x/e^2 -1/e =0` имеет только один корень, если `x>0`.

Задача 5.

Пусть `a_1, a_2, cdots , a_n` -положительные действительные числа. Докажите, что многочлен
`nx^n-a_1 x^(n-1)-a_2 x^(n-2)- cdots -a_(n-1) x-a_n` имеет ровно один положительный корень.


Последний раз редактировалось denisart 21 янв 2013, 14:26, всего редактировалось 2 раз(а).

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Разминка 10.
 Сообщение Добавлено: 21 янв 2013, 12:43 
Не в сети

Зарегистрирован: 10 сен 2011, 23:41
Сообщений: 968
Откуда: Казань
Задача 4. Докажите, что уравнение `n ex^n-x^(n-1) /e^(n-1) -x^(n-2) /e^(n-2) - cdots -x/e -1 =0` имеет только один корень, если `x>0`.
Решение. Ясно, что `x=e` не является корнем. На множестве `D= (0; e)cup (e; +infty )` наше уравнение эквивалентно уравнению (суммируем геометрическую прогрессию и приводим к общему знаменателю) `F(x)=n ex^n -nx^(n+1) -1+(x/e)^n=0`.
Заметим, что `F(0)=-1<0`, `F(1)>0`, `F(e)=0` и, кроме того, легко проверить с помощью производной, что `F(x)` возрастает на `[0; x_0 )` и убывает на `(x_0 ; +infty)`, где `x_0 =(n e+e^(-n))/(n+1) in (1; e)`, откуда (непрерывность `F(x)`) уравнение `F(x)=0` имеет два корня: `x_1 in (0; 1)` и `x_2 =e`, а исходное уравнение имеет единственный корень `x_1`.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Разминка 10.
 Сообщение Добавлено: 21 янв 2013, 14:21 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 май 2012, 19:10
Сообщений: 1176
Отлично. Пока не буду выкладывать решения, может другие задачки заинтересуют.
Добавлю сюда 5 задачу, она похожа на 4, но со своей интересной идеей.
Хотел бы увидеть решение второй задачи, знаю только один вариант, но он мне не нравится.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Разминка 10.
 Сообщение Добавлено: 21 янв 2013, 16:09 
Не в сети

Зарегистрирован: 10 сен 2011, 23:41
Сообщений: 968
Откуда: Казань
denisart писал(а):
Хотел бы увидеть решение второй задачи, знаю только один вариант, но он мне не нравится.

Мне мое решение не нравится еще больше: методом Лагранжа (это просто) нашел, что условный минимум функции `sqrt(x^2+1)+sqrt(y^2+4)+sqrt(z^2+1)` на множестве `x+y+z=3` равен `5` и достигается при `x=z=3/4`, `y=3/2`. Хотелось бы увидеть "элементарное" решение.
Поздно вечером или ночью, сейчас в цейтноте, напишу (если раньше никто не напишет) решение задачи 3: множество `{sqrt(k)-sqrt(m)}` (`k, m in NN`) плотно в `RR`.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Разминка 10.
 Сообщение Добавлено: 21 янв 2013, 16:14 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 20 окт 2010, 23:40
Сообщений: 1541
Иваныч писал(а):
denisart писал(а):
Хотел бы увидеть решение второй задачи, знаю только один вариант, но он мне не нравится.

Мне мое решение не нравится еще больше: методом Лагранжа (это просто) нашел, что условный минимум функции `sqrt(x^2+1)+sqrt(y^2+4)+sqrt(z^2+1)` на множестве `x+y+z=3` равен `5` и достигается при `x=z=3/4`, `y=3/2`. Хотелось бы увидеть "элементарное" решение.

А если теорему Пифагора? :D
Все проверила, ступеньки рисуем. Треугольники подобны, ответ такой же.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Разминка 10.
 Сообщение Добавлено: 21 янв 2013, 16:46 
Не в сети

Зарегистрирован: 10 сен 2011, 23:41
Сообщений: 968
Откуда: Казань
lenaskor писал(а):
А если теорему Пифагора? :D
Все проверила, ступеньки рисуем. Треугольники подобны, ответ такой же.

lenaskor! Супер! :text-bravo:
+100500! :ymapplause:
А то развел тут множители Лагранжа, панимашь =))


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Разминка 10.
 Сообщение Добавлено: 21 янв 2013, 17:00 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 май 2012, 19:10
Сообщений: 1176
lenaskor писал(а):
Иваныч писал(а):
denisart писал(а):
Хотел бы увидеть решение второй задачи, знаю только один вариант, но он мне не нравится.

Мне мое решение не нравится еще больше: методом Лагранжа (это просто) нашел, что условный минимум функции `sqrt(x^2+1)+sqrt(y^2+4)+sqrt(z^2+1)` на множестве `x+y+z=3` равен `5` и достигается при `x=z=3/4`, `y=3/2`. Хотелось бы увидеть "элементарное" решение.

А если теорему Пифагора? :D
Все проверила, ступеньки рисуем. Треугольники подобны, ответ такой же.

Можно подробнее, я не догоняю. Или не хочу догонять...


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Разминка 10.
 Сообщение Добавлено: 21 янв 2013, 17:19 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 20 окт 2010, 23:40
Сообщений: 1541
Вложение:
11.jpg
11.jpg [ 14.57 KIB | Просмотров: 3224 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Разминка 10.
 Сообщение Добавлено: 21 янв 2013, 17:26 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 май 2012, 19:10
Сообщений: 1176
lenaskor писал(а):
Вложение:
11.jpg

Боже, сидя на студенческой олимпиаде, я бы никогда до такого не додумался!!!!
Гениально)
Мне мужик, который проводил олимпиаду, показывал вообще что-то страшное. Я даже не стал слушать. Я верил, что есть легкое решение.
А как быть , если x,y,z отрицательные? Разобрался.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Разминка 10.
 Сообщение Добавлено: 21 янв 2013, 18:06 
Не в сети

Зарегистрирован: 10 сен 2011, 23:41
Сообщений: 968
Откуда: Казань
На всякий случай :)
Вложение:
lsk.jpg
lsk.jpg [ 25.7 KIB | Просмотров: 3199 ]


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 15 ] На страницу 1, 2  След.




Список форумов » Просмотр темы - Разминка 10.


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: