Автор |
Сообщение |
denisart
|
Заголовок сообщения: Разминка 10. Добавлено: 18 янв 2013, 22:50 |
|
Зарегистрирован: 14 май 2012, 19:10 Сообщений: 1176
|
Новая разминка.
Задача 1.
Решить матричное уравнение `X+SX+XS=A` , где S и A - матрицы размера nxn и `S^2 =0`.
Задача 2.
Решите систему:
`{(sqrt(x^2+1)+sqrt(y^2+4)+sqrt(z^2+1)=5),(x+y+z=3):}`.
Задача 3.
Можно ли число `pi` представить как `lim_(n to infty) (sqrt(k_n)-sqrt(m_n))` где `{k_n}` и `{m_n}` - последовательности натуральных чисел?
Задача 4.
Докажите, что уравнение `nx^n-x^(n-1) /e^n -x^(n-2) /e^(n-1) - cdots -x/e^2 -1/e =0` имеет только один корень, если `x>0`.
Задача 5.
Пусть `a_1, a_2, cdots , a_n` -положительные действительные числа. Докажите, что многочлен `nx^n-a_1 x^(n-1)-a_2 x^(n-2)- cdots -a_(n-1) x-a_n` имеет ровно один положительный корень.
Последний раз редактировалось denisart 21 янв 2013, 14:26, всего редактировалось 2 раз(а).
|
|
|
|
|
|
|
Иваныч
|
Заголовок сообщения: Re: Разминка 10. Добавлено: 21 янв 2013, 12:43 |
|
Зарегистрирован: 10 сен 2011, 23:41 Сообщений: 968 Откуда: Казань
|
Задача 4. Докажите, что уравнение `n ex^n-x^(n-1) /e^(n-1) -x^(n-2) /e^(n-2) - cdots -x/e -1 =0` имеет только один корень, если `x>0`. Решение. Ясно, что `x=e` не является корнем. На множестве `D= (0; e)cup (e; +infty )` наше уравнение эквивалентно уравнению (суммируем геометрическую прогрессию и приводим к общему знаменателю) `F(x)=n ex^n -nx^(n+1) -1+(x/e)^n=0`. Заметим, что `F(0)=-1<0`, `F(1)>0`, `F(e)=0` и, кроме того, легко проверить с помощью производной, что `F(x)` возрастает на `[0; x_0 )` и убывает на `(x_0 ; +infty)`, где `x_0 =(n e+e^(-n))/(n+1) in (1; e)`, откуда (непрерывность `F(x)`) уравнение `F(x)=0` имеет два корня: `x_1 in (0; 1)` и `x_2 =e`, а исходное уравнение имеет единственный корень `x_1`.
|
|
|
|
|
denisart
|
Заголовок сообщения: Re: Разминка 10. Добавлено: 21 янв 2013, 14:21 |
|
Зарегистрирован: 14 май 2012, 19:10 Сообщений: 1176
|
Отлично. Пока не буду выкладывать решения, может другие задачки заинтересуют. Добавлю сюда 5 задачу, она похожа на 4, но со своей интересной идеей. Хотел бы увидеть решение второй задачи, знаю только один вариант, но он мне не нравится.
|
|
|
|
|
Иваныч
|
Заголовок сообщения: Re: Разминка 10. Добавлено: 21 янв 2013, 16:09 |
|
Зарегистрирован: 10 сен 2011, 23:41 Сообщений: 968 Откуда: Казань
|
denisart писал(а): Хотел бы увидеть решение второй задачи, знаю только один вариант, но он мне не нравится. Мне мое решение не нравится еще больше: методом Лагранжа (это просто) нашел, что условный минимум функции `sqrt(x^2+1)+sqrt(y^2+4)+sqrt(z^2+1)` на множестве `x+y+z=3` равен `5` и достигается при `x=z=3/4`, `y=3/2`. Хотелось бы увидеть "элементарное" решение. Поздно вечером или ночью, сейчас в цейтноте, напишу (если раньше никто не напишет) решение задачи 3: множество `{sqrt(k)-sqrt(m)}` (`k, m in NN`) плотно в `RR`.
|
|
|
|
|
lenaskor
|
Заголовок сообщения: Re: Разминка 10. Добавлено: 21 янв 2013, 16:14 |
|
Зарегистрирован: 20 окт 2010, 23:40 Сообщений: 1541
|
Иваныч писал(а): denisart писал(а): Хотел бы увидеть решение второй задачи, знаю только один вариант, но он мне не нравится. Мне мое решение не нравится еще больше: методом Лагранжа (это просто) нашел, что условный минимум функции `sqrt(x^2+1)+sqrt(y^2+4)+sqrt(z^2+1)` на множестве `x+y+z=3` равен `5` и достигается при `x=z=3/4`, `y=3/2`. Хотелось бы увидеть "элементарное" решение. А если теорему Пифагора? Все проверила, ступеньки рисуем. Треугольники подобны, ответ такой же.
|
|
|
|
|
Иваныч
|
Заголовок сообщения: Re: Разминка 10. Добавлено: 21 янв 2013, 16:46 |
|
Зарегистрирован: 10 сен 2011, 23:41 Сообщений: 968 Откуда: Казань
|
lenaskor писал(а): А если теорему Пифагора? Все проверила, ступеньки рисуем. Треугольники подобны, ответ такой же. lenaskor! Супер! +100500! А то развел тут множители Лагранжа, панимашь
|
|
|
|
|
denisart
|
Заголовок сообщения: Re: Разминка 10. Добавлено: 21 янв 2013, 17:00 |
|
Зарегистрирован: 14 май 2012, 19:10 Сообщений: 1176
|
lenaskor писал(а): Иваныч писал(а): denisart писал(а): Хотел бы увидеть решение второй задачи, знаю только один вариант, но он мне не нравится. Мне мое решение не нравится еще больше: методом Лагранжа (это просто) нашел, что условный минимум функции `sqrt(x^2+1)+sqrt(y^2+4)+sqrt(z^2+1)` на множестве `x+y+z=3` равен `5` и достигается при `x=z=3/4`, `y=3/2`. Хотелось бы увидеть "элементарное" решение. А если теорему Пифагора? Все проверила, ступеньки рисуем. Треугольники подобны, ответ такой же. Можно подробнее, я не догоняю. Или не хочу догонять...
|
|
|
|
|
lenaskor
|
Заголовок сообщения: Re: Разминка 10. Добавлено: 21 янв 2013, 17:19 |
|
Зарегистрирован: 20 окт 2010, 23:40 Сообщений: 1541
|
Вложение:
11.jpg [ 14.57 KIB | Просмотров: 3224 ]
|
|
|
|
|
denisart
|
Заголовок сообщения: Re: Разминка 10. Добавлено: 21 янв 2013, 17:26 |
|
Зарегистрирован: 14 май 2012, 19:10 Сообщений: 1176
|
lenaskor писал(а): Боже, сидя на с туденческой олимпиаде, я бы никогда до такого не додумался!!!! Гениально) Мне мужик, который проводил олимпиаду, показывал вообще что-то страшное. Я даже не стал слушать. Я верил, что есть легкое решение. А как быть , если x,y,z отрицательные? Разобрался.
|
|
|
|
|
Иваныч
|
Заголовок сообщения: Re: Разминка 10. Добавлено: 21 янв 2013, 18:06 |
|
Зарегистрирован: 10 сен 2011, 23:41 Сообщений: 968 Откуда: Казань
|
На всякий случай Вложение:
lsk.jpg [ 25.7 KIB | Просмотров: 3199 ]
|
|
|
|
|
|
|
|