Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Олимпиады » Математика




 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ] На страницу 1, 2  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Разминка.
 Сообщение Добавлено: 05 янв 2013, 00:08 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 май 2012, 19:10
Сообщений: 1176
Задача 1.

Даны положительные числа `c_1, c_2, ..., c_n` такие, что `c_1 c_2 ... c_n =1`. Докажите, что `ln(1+c_1)+ln(1+c_2)+...+ln(1+c_n) >= n*ln2`.

Задача 2.

Существует ли такой `y`, для которого `cos(y)=(1*1!+2*2!+...+2012*2012!)/(2013!)` ?

Задача 3.

Даны числа `a, b, c, d` , `|a|<= 1, |b|<= 1, |c|<=1, |d|<=1`. Найдите наибольшее значение `|ab+db+dc-ac|`.


Последний раз редактировалось denisart 14 янв 2013, 13:23, всего редактировалось 2 раз(а).

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Разминка.
 Сообщение Добавлено: 05 янв 2013, 07:04 
Не в сети

Зарегистрирован: 19 июн 2010, 09:30
Сообщений: 268
Подправьте условие в №2: `2012*2012!`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Разминка.
 Сообщение Добавлено: 05 янв 2013, 09:28 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 май 2012, 19:10
Сообщений: 1176
VEk писал(а):
Подправьте условие в №2: `2012*2012!`

Да, прошу прощения!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Разминка.
 Сообщение Добавлено: 05 янв 2013, 18:52 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 05 янв 2013, 12:23
Сообщений: 428
Откуда: Уфа
В третьем задании не 2, случаем?)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Разминка.
 Сообщение Добавлено: 05 янв 2013, 19:08 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 май 2012, 19:10
Сообщений: 1176
VladVlad писал(а):
В третьем задании не 2, случаем?)

да.
Эти все задачки не сложные. Попробуйте и другие. Решение оформляйте. Это важно. Можно решить задачу, но "запороть" в оформлении.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Разминка.
 Сообщение Добавлено: 06 янв 2013, 11:30 
Не в сети

Зарегистрирован: 10 сен 2011, 23:41
Сообщений: 931
Откуда: Казань
Пора, пора воспрясть, размяться :)
Задачи 1, 2 (или подобные) были, по-моему, на форуме, но их легче решить, чем искать.
Подробности:
"Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед!" - А. Нивен.
Кстати, очень полезная книга для старшеклассника: Айвен Нивен. Числа рациональные и иррациональные (Современная математика. Популярная серия ) - 1966.
Никак? Тогда подсказки.
Подробности:
Задача 1. Методом математической индукции не пробовали?
Задача 2. `n=(n+1)-1`.
Если все же кое-кто у нас порой...
Подробности:
Задача 2. Существует ли такой `y`, для которого `cos y=(1*1!+2*2!+...+2012*2012!)/(2013!)` ?
Решение. Так как `k cdot k! = (k+1)! -k!` при `k in NN`, то `sum_(k=1)^(n)k cdot k! = (n+1)! - 1! <(n+1)!` и `y = pm arccos (1- 1/((n+1)!)) +2 pi m`, `m in ZZ`.

Задача 1. Даны положительные числа `c_1, c_2, ..., c_n` такие, что `c_1 c_2 \cdots c_n =1`. Докажите, что `ln(1+c_1)+ln(1+c_2)+\cdots +ln(1+c_n) >= n*ln2`.
Решение. Методом математической индукции докажем следующее эквивалентное утверждение: если `c_i >0`, `i=1,2, dots , n` и `c_1 \cdot c_2 \cdots c_n =1`, то `(1+c_1 ) cdot (1+c_2 ) cdots (1+c_n )>=2^n`.
При `n=1`: `c_1 =1 => 1+c_1 >= 2^1`.
Пусть доказываемое утверждение справедливо при некотором `n in NN` и `c_1 cdot c_2 cdots c_(n+1) =1`, `c_i >0`, `i=1,2, dots , n+1`. Если `c_1 =c_2 = dots =c_(n+1) =1` то утверждение `2^(n+1)>=2^(n+1)` справедливо. Если же не все `c_i =1`, то найдутся `c_m >1` (иначе `c_1 cdot c_2 cdots c_(n+1) <1`) и `c_j <1` (иначе `c_1 cdot c_2 cdots c_(n+1) >1`). Обозначим `b=c_m \cdot c_j`. Тогда `b \cdot prod_(k!=m, k!=j) c_k =1` и, по предположению индукции, `(1+b) \cdot prod_(k!=m, k!=j) (1+c_k )>=2^n`. Но `((1+c_m )(1+c_j ))/(1+b)=1+(c_m +c_j )/(1+c_m c_j )>2`, так как `c_m +c_j -(1+c_m c_j )=(c_m -1)(1-c_j )>0`: оба множителя положительны.
Отметим, что мы доказали уточнение: равенство достигается в том и только в том случае, когда `c_1 =c_2 = dots =c_n =1`.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Разминка.
 Сообщение Добавлено: 06 янв 2013, 11:58 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 май 2012, 19:10
Сообщений: 1176
Иваныч писал(а):
Пора, пора воспрясть, размяться :)
Задачи 1, 2 (или подобные) были, по-моему, на форуме, но их легче решить, чем искать.


Новые идеи сложно придумать. Я, бывает, днями бьюсь, что бы придумать что-то, что я еще не видел нигде. И то, я же не мог видеть все задачки.


1 Задача.
Подробности:
Перепишем `ln(1+c_1)+...+ln(1+c_n)>=ln 2^n`.
`ln( (1+c_1)...(1+c_n) ) >= ln 2^n`.

`(1+c_1)...(1+c_n) >= 2^n`.

`1+c_1 >= 2sqrt(c_1), ...., 1+c_n >= 2sqrt(c_n)` Перемножив n неравенств получим требуемое.


2 Задача.

Подробности:
`1*1!+2*2!+...+2012*2012! = (2-1)*1!+(3-1)*2!+...+(2013-1)*2012! = 2!-1!+3!-2!+...+2013!-2012! = 2013!-1.`

`cosy=(2013!-1)/(2013!)<1.`


3 Задача.

Подробности:
`|ab+db+dc-ac| = |b(a+d)+c(d-a)| <= |b||a+d|+|c||d-a| <= |a+d|+|d-a|`.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Разминка.
 Сообщение Добавлено: 06 янв 2013, 23:04 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 23 авг 2010, 19:45
Сообщений: 539
Иваныч писал(а):
"Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед!" - А. Нивен.
Кстати, очень полезная книга для старшеклассника: Айвен Нивен. Числа рациональные и иррациональные (Современная математика. Популярная серия ) - 1966.

Спасибо, Иваныч, интересная книга, нашел ее здесь http://bookfi.org/book/615735

_________________
www.youtube.com/c/ValeryVolkov


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Разминка.
 Сообщение Добавлено: 24 янв 2013, 16:40 
Не в сети

Зарегистрирован: 07 июл 2012, 19:10
Сообщений: 140
Откуда: Железнодорожный
Задача 2.
`1*1!+2*2!+...+2012*2012! <> 2013!`
`1*1!+2*2!+...+2012*2012! <> 2012! * (1 + 2012)`
`1*1!+2*2!+...+2012*2012! <> 2012! * 2012 + 2012!`

`1*1!+2*2!+...+2011*2011! <> 2012!`
`1*1!+2*2!+...+2011*2011! <> 2011! * (2011 + 1)`
`1*1!+2*2!+...+2010*2010! <> 2011!`

И так далее, потом:
`1*1!<> 2!`
`1<2`
Следовательно, то выражение меньше единицы.

А есть какие-то формулы для факториалов, да?)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Разминка.
 Сообщение Добавлено: 24 янв 2013, 17:43 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 май 2012, 19:10
Сообщений: 1176
guitarist писал(а):
Задача 2.
`1*1!+2*2!+...+2012*2012! <> 2013!`
`1*1!+2*2!+...+2012*2012! <> 2012! * (1 + 2012)`
`1*1!+2*2!+...+2012*2012! <> 2012! * 2012 + 2012!`

`1*1!+2*2!+...+2011*2011! <> 2012!`
`1*1!+2*2!+...+2011*2011! <> 2011! * (2011 + 1)`
`1*1!+2*2!+...+2010*2010! <> 2011!`

И так далее, потом:
`1*1!<> 2!`
`1<2`
Следовательно, то выражение меньше единицы.

А есть какие-то формулы для факториалов, да?)

Хорошее решение.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ] На страницу 1, 2  След.




Список форумов » Просмотр темы - Разминка.


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: