Хотя я и не люблю координатный метод в задаче 14, но вроде бы тут как раз тот самый редкий случай, когда координатами доказать проще.
Впрочем, я уже ни в чем не уверена
Система координат: центр `O=A`, `Ox` - вдоль `AD`, `Oy`- вдоль `AB`, `Oz` - вдоль `A A_1`.
`vec(AK)={6,8,7}`
Если точка `H` лежит на прямой `A_1K`, то `H(6t, 8t, 7)`, если на отрезке `A_1K`, то `0<=t<=1`.
`B(0, 16, 0)`, `vec(BH)={6t, 8t-16, 7}`.
Если точка `H` лежит в плоскости, перпендикулярной `AK`, то скалярное произведение векторов `vec(BH)` и `vec(AK)` равно нулю:
`6*6t+8(8t-16)+49=0`, `t=0,79`, `H` лежит на отрезке `A_1K`.