Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Подготовка к ЕГЭ » Задание №16




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Стереометрия перед экзаменом.
 Сообщение Добавлено: 23 май 2017, 13:11 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 дек 2010, 13:36
Сообщений: 4681
Каждый год перед экзаменом размещаю для решения две задачи. Первую задачу полезно решить и геометрически и координатным способом. В решении второй проявляется вся красота и мощь координатного способа.
1) Ребро куба ABCDA1B1C1D1, равно `sqrt14`
точка К - середина ребра СС1. Найдите расстояние от вершины А до плоскости, проходящей через прямую ВК и параллельно прямой DB1.
2) В треугольной пирамиде SABC с вершиной S ребра SA, SB, SC взаимно перпендикулярны и имеют соответствено длины 8, 6 и 3. В пирамиду вписан куб, 3 грани которого лежат на гранях, содержащих вершину S, а одна из вершин лежит на грани ABC. Найти длину ребра куба.

_________________
Цель ничто - движение все.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Стереометрия перед экзаменом.
 Сообщение Добавлено: 23 май 2017, 14:34 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5731
Откуда: Москва
eduhelper писал(а):
В решении второй проявляется вся красота и мощь координатного способа.

1. Вторая задача решается геометрически в одну строчку `quad x=(3V)/(S_1+S_2+S_3)=(abc)/(ab+ac+bc).`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Стереометрия перед экзаменом.
 Сообщение Добавлено: 23 май 2017, 15:51 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 03 сен 2016, 12:04
Сообщений: 333
Откуда: Москва
Надеюсь нигде не ошибся.
1. Проведём отрезки `[(|B'D|),(|BK|):}` В плоскости `B'D'D` проведём прямую `alpha_1` так :`{(B in alpha_1),(alpha_1 || B'D),(alpha_1 nn D'D=D''):}`

В плоскости `CC'D` проведём прямую `alpha_2` так : `{ (K;D'' in alpha_2),(alpha_2 nn DC=T):}`


Соединим точки `T,B` ,получим отрезок `|TB|`/

Итог:построили сечение `BKT` плоскостью `lambda` ,причём `{(B'D || BD''),(BD'' subseteq lambda):}`

Значит `lambda || B'D` по теореме о параллельной прямой и плоскости.Пусть сторона куба `a`


Классика:
Подробности:
2.
`[ (V_(ABKT) = KC* S_( Delta ABT)*1/3),(V_(ABKT)=d(A;BKT)*S_( Delta BKT)*1/3):}`

Тогда `d(A;BKT)=KC*(S_( Delta ABT))/(S_( Delta BKT))`

`D D '' T_(Delta)` подобен `TKC_(Delta)` по 1 признаку подобия.
Из подобия `TC=a/3`

По теореме Пифагора :
`HBT_(Delta)` : `BT=sqrt(10)*a/3`

`TCK_(Delta)`:`TK=sqrt(13)*a/6`

`BCK_(Delta)`:`BK=sqrt(5)*a/2`

По формуле Герона имеем:
`S BKT_(Delta)=sqrt(14)/12*a^2`

Очевидно `S ABT_(Delta)=a^2/2`

Итог:`d(A;BKT)=a/2*a^2/2*12/(sqrt(14)*a^2)=3`

Координатный способ:
Подробности:
3.
Введём координатный оси `Ox,OY,OZ` с началом в точке `C`
Запишем координаты необходимых точек
`{(B(a;0;0)),(K(0;0;a/2)),(B'(a;0;a)),(D(0;a;0)),(A(a;a;0)):}`

Пусть точка `W in BKT`и `M(x;y;z)`

Векторы:
`{(vec(KB) vec({a;0;-a/2})),(vec(KM) vec({x;y;z-a/2})),(vec(DB') vec({a;-a;a})):}`
Поскольку `vec(KB),vec(KM) subseteq BKT` и `vec(DB')||BKT` ,то смешанное произведение данных векторов равно нулю.(Векторы компланарны).
`|(x,y,z-a/2),(a,0,-a/2),(a,-a,a)| = 0`
Получим
`x*(-a^2/2)-y(a^2/2+a^2)+(z-a/2)(-a^2)=0`

`d(A;BKT)=2*|-a^3/2-3/2a^3+a^3/2|/(sqrt(14)*a^2)=3`

Рисунок
Подробности:
Вложение:
nvhdyjoPTVM.jpg
nvhdyjoPTVM.jpg [ 96.98 KIB | Просмотров: 1324 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Стереометрия перед экзаменом.
 Сообщение Добавлено: 23 май 2017, 18:10 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 дек 2010, 13:36
Сообщений: 4681
nnuttertools писал(а):
Надеюсь нигде не ошибся...


`d(A;BKT)=2*|-a^3/2-3/2a^3+a^3/2|/(sqrt(14)*a^2)=3`

... :) Приемлемо... и даже весьма... Порешай вторую задачу из этого поста.
И посмотри №15 Размещенную мной сегодня
`log_2(x^2-8x+6) >= 2+1/2log_2(2x-1)` :)

_________________
Цель ничто - движение все.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Стереометрия перед экзаменом.
 Сообщение Добавлено: 23 май 2017, 23:05 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 03 сен 2016, 12:04
Сообщений: 333
Откуда: Москва
Пусть сторона куба `=a`
`P`-вершина куба ,лежащая на плоскости `ACB`.
`W`-вершина куба ,лежащая на грани `ASB` отлично от рёбер пирамиды.
`K`-вершина куба,лежащая на ребре `SC`
Проведём прямую `alpha_1 ` так :`{(alpha_1 nn AB=L),(W in alpha_1 ),(S in alpha_1):}`

Классика:
Подробности:
Очевидно `SL`-биссектриса `Delta ASB`
По формуле биссектрисы:
`SL=(2*AS*SB*cos 45)/(SB+SA)=24*sqrt(2)/7`
`Delta SCL`подобен `Delta PCK` по 1 признаку;
Из подобия:
`(PK)/(LS)=(KC)(SC)`

`(a*sqrt(2)*7)/(24*sqrt(2))=(3-a)/(3)`

`a=24/15`

Координатный метод:
Подробности:
Уравнение плоскости `ACB` по трём точкам:
`|(x, y,z-3),(6 ,0 , -3),(0,8,-3)|=0`

`24x+18y+42z-48*3=0`
Очевидно координата точки `P(a,a,a)`
Подставим в уравнение плоскости :
`24a+18a+48a=48*3`
`a=24/15`


Рисунок:
Подробности:
Вложение:
gLULyxh2QeQ.jpg
gLULyxh2QeQ.jpg [ 79.33 KIB | Просмотров: 1200 ]

Не успеваю чередовать предметы)

Первый раз такое,что не могу решить 15,так же минут 20 просидел ,но не увидел ничего.Можно ,конечно, методом Феррари,потом методом Кардано...но ,боюсь,это будет смешно для такого номера.Если накинуть график,то можно увидеть так же ,что корней всего 2(я имею ввиду после преобразования получается с одной стороны неравенства функция многочлена 4 степени,либо с заменой `t=x^2-8x+6` можно получить напрямую выход на метод Феррари...но опять же это бред).2 корня сливаются из-за ОДЗ,в этом ,наверное, вся суть.Позже ещё подумаю,действительно, интересный номер,но такого ,скорее всего, не будет,если только на вступительных :)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Стереометрия перед экзаменом.
 Сообщение Добавлено: 24 май 2017, 04:50 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 дек 2010, 13:36
Сообщений: 4681
nnuttertools писал(а):
Пусть сторона куба `=a`...

`a=24/15`


Не успеваю чередовать предметы)

Первый раз такое,что не могу решить 15,так же минут 20 просидел ,но не увидел ничего.Можно ,конечно, методом Феррари,потом методом Кардано...но ,боюсь,это будет смешно для такого номера.Если накинуть график,то можно увидеть так же ,что корней всего 2(я имею ввиду после преобразования получается с одной стороны неравенства функция многочлена 4 степени,либо с заменой `t=x^2-8x+6` можно получить напрямую выход на метод Феррари...но опять же это бред).2 корня сливаются из-за ОДЗ,в этом ,наверное, вся суть.Позже ещё подумаю,действительно, интересный номер,но такого ,скорее всего, не будет,если только на вступительных :)

По поводу стереометрии: 1) Уверен что на экзамене, свои баллы по задаче №14, ты получишь. Искренне желаю тебе получить максимум и по остальным задачам ЕГЭ.
2) Уравнение плоскости АВС, лучше составлять не по точкам, а в отрезках.
Если плоскость отсекает от осей координат отрезки `a,b,c` то уравнение плоскости в отрезках записывается в виде: `x/a+y/b+z/c=1`...(это просто для сведения, а не в виде какого то замечания к твоему решению).
3) По задаче №15. Я уже ранее высказывался при решении некоторых задач по физике: надо быть Проще и Решительнее. :) Проводи преобразования, получай многочлен четвертой степени, раскладывай его на произведение двух трехчленов второй степени и отбирай корни с учетом одз.
Успехов.
P.S. По поводу будут или не будут такие задачи на экзамене: в прошлом году многие ученики в задачах №15, получали многочлен третьей степени и не смогли разложить на множители... Кто же запретит составителям, подсунуть на экзамене многочлен четвертой или более высокой степени? :D

_________________
Цель ничто - движение все.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: