Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » ГИА-9




 Страница 2 из 5 [ Сообщений: 47 ] На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Перед Экзаменом. Геометрия.
 Сообщение Добавлено: 29 сен 2014, 17:34 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 дек 2010, 13:36
Сообщений: 4211
... Если будет возможность и необходимость, то в раздел физика для студентов, размещай задачки для обсуждения... :)

_________________
Цель ничто - движение все.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Перед Экзаменом. Геометрия.
 Сообщение Добавлено: 29 сен 2014, 18:00 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 06 окт 2013, 21:24
Сообщений: 506
eduhelper писал(а):
Продолжаем:
В квадрат вписана окружность. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин квадрата есть величина постоянная.

"продолжаем разговор..." про векторы :D
рисунок покрупнее сделал, чтобы не лепить, если слишком большой, извентиляюсь :ymhug:
Подробности:
Вложение:
111.png
111.png [ 16.24 KIB | Просмотров: 3829 ]

Подробности:
значится, так:
возьмём произвольную точку `Q` на окружности, центр которой обозначим за `O`.
тогда каждый вектор `XQ=XO+OQ`, где `X` - любая вершина квадрата.
получаем сумму квадратов векторов, каждый из которых равен такой сумме:
`sum_(X=A)^(D) (XO+OQ)^2=sum_(X=A)^(D)(C_1+C_2*costheta)`
здесь `C_1` - сумма квадратов модулей `XO` и `OQ`, `C_2` - удвоенное их произведение - константы, а `theta` ето `<(XO,OQ)`
теперь делаем ход лошадью и обозначаем `<DOQ=alpha`, далее от `A` до `D` по часовой считаем `theta` через `alpha`, я ленивый, я просто через запятую напишу: `pi/2+alpha, pi-alpha, pi/2-alpha, alpha`
тогда раскрываем сумму и получаем, что она равна `C_0+C2(sumcostheta_i)`, где `theta_i` - ето вон те самые углы, про сумму косинусов которых формулы приведения говорят, что она ноль, то бишь сумма квадратов равна `C_0=4C_1`, которая константа :ymhug:
upd.:
да, если известен радиус или сторона квадрата, из которой он будет выражаться: `S=4C_1=4(XO^2+OQ^2)=4(2r^2+r^2)=12r^2`, вроде как, прикольная задачка


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Перед Экзаменом. Геометрия.
 Сообщение Добавлено: 29 сен 2014, 19:55 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 дек 2010, 13:36
Сообщений: 4211
pavel1808 писал(а):
да, если известен радиус или сторона квадрата, из которой он будет выражаться: `S=4C_1=4(XO^2+OQ^2)=4(2r^2+r^2)=12r^2`, вроде как, прикольная задачка

Приемлемо. Для тех кто изучает аналитическую геометрию :) сподручнее вводить систему координат в центре квадрата (окружности) определять через сторону квадрата (через радиус вписанной окружности) координаты вершин. Выбирая текущую точку на окружности с координатами (х;у) составляем сумму квадратов указанных расстояний... :)
Планиметрические задачи 1),2),3) ждут не дождутся решения... :)

_________________
Цель ничто - движение все.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Перед Экзаменом. Геометрия.
 Сообщение Добавлено: 29 сен 2014, 21:08 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 06 окт 2013, 21:24
Сообщений: 506
eduhelper писал(а):
... Удивительно "мощный" поток решальщиков... :)
Замечаю, что наибольшую сложность при решении задач по геометрии, вызывают задачи на нахождение подобных фигур и на то или иное свойство вписанных или описанных окружностей... И вообще на присутствие в условии в том или ином виде окружностей...
В треугольнике АВС угол А равен 120 град. AF, BE и СD биссектриссы. Докажите что угол EFD прямой.

Эта задача вообще по-нормальному решается? Я ничего, кроме как выразить и доказать `(FE,FD)=0` не придумал, но это оооооооочень долго и нудно, а красивого геометрического решения не вижу :( Нарисовал окружность, получил центральный угол `60^@`, а что с ним делать - не придумал, тоскливо как-то


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Перед Экзаменом. Геометрия.
 Сообщение Добавлено: 29 сен 2014, 23:00 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 сен 2014, 22:16
Сообщений: 423
eduhelper писал(а):
В треугольнике АВС угол А равен 120 град. AF, BE и СD биссектриссы. Докажите что угол EFD прямой.

Отметила величины некоторых углов, чтобы найти закономерности. Любопытны углы в `30^o`
Как и следовало ожидать, искомый прямой угол опирается на диаметр вписанной окружности. Осталось доказать, что это так.
Геогебра рулит! С живым треугольником намного интереснее.
Вложение:
ПередЭкзаменом.ggb [7.58 KIB]
Скачиваний: 129


Вложения:
ПередЭкзаменом.png
ПередЭкзаменом.png [ 169.66 KIB | Просмотров: 3752 ]

_________________
Марина
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Перед Экзаменом. Геометрия.
 Сообщение Добавлено: 30 сен 2014, 08:12 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 дек 2010, 13:36
Сообщений: 4211
pavel1808 писал(а):
eduhelper писал(а):
...
В треугольнике АВС угол А равен 120 град. AF, BE и СD биссектриссы. Докажите что угол EFD прямой.

Эта задача вообще по-нормальному решается? Я ничего, кроме как выразить и доказать `(FE,FD)=0` не придумал, но ... тоскливо как-то

Тосковать не надо и нельзя... :) Физтехам к лицу ПОЗИТИВИЗМ :)
Надо например, показать, что FD биссектриса угла AFB, а FE биссектриса угла AFC...
Для этого построй вневписанную окружность в треугольник AFC c центром в т D
Продолжаем СА, учитываем что АВ биссектриса угла смежного с углом CAF ... и получается что FD биссектриса угла AFB. Аналогично для FE, (строим вневписанную окружность в треугольник AFC с центром в т.E...). Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. :)
Теперь осталось решить первую и вторую... :)

_________________
Цель ничто - движение все.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Перед Экзаменом. Геометрия.
 Сообщение Добавлено: 30 сен 2014, 09:19 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 06 окт 2013, 21:24
Сообщений: 506
eduhelper писал(а):
pavel1808 писал(а):
eduhelper писал(а):
...
В треугольнике АВС угол А равен 120 град. AF, BE и СD биссектриссы. Докажите что угол EFD прямой.

Эта задача вообще по-нормальному решается? Я ничего, кроме как выразить и доказать `(FE,FD)=0` не придумал, но ... тоскливо как-то

Тосковать не надо и нельзя... :) Физтехам к лицу ПОЗИТИВИЗМ :)
Надо например, показать, что FD биссектриса угла AFB, а FE биссектриса угла AFC...
Для этого построй вневписанную окружность в треугольник AFC c центром в т D
Продолжаем СА, учитываем что АВ биссектриса угла смежного с углом CAF ... и получается что FD биссектриса угла AFB. Аналогично для FE, (строим вневписанную окружность в треугольник AFC с центром в т.E...). Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. :)
Теперь осталось решить первую и вторую... :)

Круто :text-bravo: спасибо, я тут вообще уже нормальную геометрию забыл, одни векторы и матрицы, лобовой счёт, да и только


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Перед Экзаменом. Геометрия.
 Сообщение Добавлено: 30 сен 2014, 23:53 
Не в сети

Зарегистрирован: 22 окт 2010, 09:05
Сообщений: 99
Откуда: Москва
eduhelper писал(а):
Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите, что высота трапеции есть среднее пропорциональное между ее основаниями.
Решить:
1) через подобие фигур.
2) Через свойства векторов.

Добрый день. Почти всегда, когда диагонали трапеции перпендикулярны, можно перенести одну диагональ, чтобы получился прямоугольный треугольник. Здесь это работает.


Вложения:
трапеция.jpg
трапеция.jpg [ 256.42 KIB | Просмотров: 3615 ]
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Перед Экзаменом. Геометрия.
 Сообщение Добавлено: 01 окт 2014, 01:03 
Не в сети

Зарегистрирован: 07 мар 2013, 19:13
Сообщений: 2843
eduhelper, спасибо за тему.

№5. Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны.
Докажите, что высота трапеции есть среднее пропорциональное между ее основаниями.
Решить:
1) через подобие фигур <...>.

keldnat, спасибо за почин в решениях (я как-то думала, что это для школьников).

Основная идея --- как у keldnat: сдвиг диагонали.
А дальше --- подобие прямоугольных треугольников
(это если мы настолько "невинны", что не знаем
о средних геометрических в прямоугольном треугольнике :D ).


Вложения:
img029_1.jpg
img029_1.jpg [ 169.52 KIB | Просмотров: 3605 ]
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Перед Экзаменом. Геометрия.
 Сообщение Добавлено: 02 окт 2014, 09:32 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 дек 2010, 13:36
Сообщений: 4211
Вот еще:
1) В трапеции АВСД одна из диагоналей равна 4, угол между диагоналями 120 град. Высота трапеции равна 2. Найдите длину второй диагонали.
2) Докажите, что длина медианы, выходящей из вершины тупого угла треугольника, меньше четверти периметра этого треугольника.

_________________
Цель ничто - движение все.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 2 из 5 [ Сообщений: 47 ] На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: