Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Интересные задачки




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Неравенство 1
 Сообщение Добавлено: 13 ноя 2017, 20:46 
Не в сети

Зарегистрирован: 20 дек 2013, 17:51
Сообщений: 103
Откуда: Занзибар
Здравствуйте! Подскажите пожалуйста идею доказательства неравенства `sin2x<2/(3x-x^2)`, `0<x<pi/2`. Спасибо заранее!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство 1
 Сообщение Добавлено: 13 ноя 2017, 22:13 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1528
Например исследование функций на возрастание и убывание. Возможно вместе с теоремой о бегах. Скорее всего должно хватить.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство 1
 Сообщение Добавлено: 13 ноя 2017, 23:18 
Не в сети

Зарегистрирован: 20 дек 2013, 17:51
Сообщений: 103
Откуда: Занзибар
Спасибо alex123 за идею. Но теорему о бегах не знаю. Формулируйте пожалуйста эту теорему!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство 1
 Сообщение Добавлено: 13 ноя 2017, 23:24 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1528
atakga писал(а):
Спасибо alex123 за идею. Но теорему о бегах не знаю. Формулируйте пожалуйста эту теорему!


Теорема - громко сказано. Но таки получила народное жаргонное название.
Впрочем она, скорее всего, не понадобится.

ТОБ: Если `f(a)=g(a)` и `f'(x)>g'(x)` всюду на `[a,b]`, то `f(x)>g(x)` всюду на `(a,b]`.

UPD. Не ведомо гуглу такое жаргонное название. И я его слышал нечасто. И не помню, от кого.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство 1
 Сообщение Добавлено: 14 ноя 2017, 07:30 
Не в сети

Зарегистрирован: 20 дек 2013, 17:51
Сообщений: 103
Откуда: Занзибар
Спасибо еще раз alex123!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство 1
 Сообщение Добавлено: 14 ноя 2017, 08:28 
Не в сети

Зарегистрирован: 04 мар 2011, 21:28
Сообщений: 633
atakga писал(а):
Спасибо еще раз alex123!

Удалось доказать неравенство таким способом?
Если что-то пойдёт не так, попробуйте:
1) сначала сузить промежуток до `[1,\frac{\pi}{2}]`, т.к. при `0<x<1` правая часть неравенства больше единицы (пусть далее правая часть обозначается через `f(x)`).
2) используйте касательную `y=\frac{3-x}{2}` к графику `f` при `x=1` и проверьте, что `\frac{3-x}{2}>\sin(2x)` на промежутке пункта 1 (производная разности `\frac{3-x}{2}-\sin(2x)` положительна).
3) поскольку `f''>0` на `[1,\frac{\pi}{2}]`, то график `f` располагается выше касательной, что доказывает исходное неравенство.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство 1
 Сообщение Добавлено: 14 ноя 2017, 12:16 
Не в сети

Зарегистрирован: 20 дек 2013, 17:51
Сообщений: 103
Откуда: Занзибар
Очень благодарен Вам MathUser за идею использования касательной!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство 1
 Сообщение Добавлено: 14 ноя 2017, 18:30 
Не в сети

Зарегистрирован: 08 дек 2012, 21:53
Сообщений: 675
alex123 писал(а):
Теорема - громко сказано. Но таки получила народное жаргонное название.
Впрочем она, скорее всего, не понадобится.

ТОБ: Если `f(a)=g(a)` и `f'(x)>g'(x)` всюду на `[a,b]`, то `f(x)>g(x)` всюду на `(a,b]`.

UPD. Не ведомо гуглу такое жаргонное название. И я его слышал нечасто. И не помню, от кого.
Это частный случай так называемой леммы о дифференциальных неравенствах (теорема Чаплыгина, а в более общем виде со сверх слабыми условиями это лемма Зигмунда). У меня дома есть даже книжка Жарского про это... вот эта: http://www.nsc.ru/interval/Library/Appl ... zarski.pdf


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство 1
 Сообщение Добавлено: 14 ноя 2017, 22:25 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1528
voloch писал(а):
alex123 писал(а):
Теорема - громко сказано. Но таки получила народное жаргонное название.
Впрочем она, скорее всего, не понадобится.

ТОБ: Если `f(a)=g(a)` и `f'(x)>g'(x)` всюду на `[a,b]`, то `f(x)>g(x)` всюду на `(a,b]`.

UPD. Не ведомо гуглу такое жаргонное название. И я его слышал нечасто. И не помню, от кого.
Это частный случай так называемой леммы о дифференциальных неравенствах (теорема Чаплыгина, а в более общем виде со сверх слабыми условиями это лемма Зигмунда). У меня дома есть даже книжка Жарского про это... вот эта: http://www.nsc.ru/interval/Library/Appl ... zarski.pdf


Не пугайте детей :)

Кстати, вам известно какое-то народно-жаргонное название в духе бегов-ипподромов-гонок или меня глючит и никакого жаргона для такого пустяка нет?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство 1
 Сообщение Добавлено: 15 ноя 2017, 22:54 
Не в сети

Зарегистрирован: 08 дек 2012, 21:53
Сообщений: 675
alex123 писал(а):
Кстати, вам известно какое-то народно-жаргонное название в духе бегов-ипподромов-гонок или меня глючит и никакого жаргона для такого пустяка нет?
Не, никогда не слышал.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ] 




Список форумов » Просмотр темы - Неравенство 1


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: