Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Интересные задачки




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Ряд
 Сообщение Добавлено: 24 фев 2018, 19:26 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 393
Пусть $\Lambda$ --- решетка целых гауссовых чисел на комплексной плоскости, $\beta$ --- любое комплексное число, не принадлежащее $\Lambda$. Найти $\frac{1}{\beta}+\frac{1}{1-\beta}+\sum_{0 \neq \alpha \in \Lambda} \left(\frac{1}{\alpha+\beta}+\frac{1}{1-\alpha-\beta}+\frac{1}{\alpha^2}\right)$. (Можно также попробовать угадать ответ, рассматривая задачу как тест.)

P.S. Навеяно последними сообщениями в теме viewtopic.php?f=4&t=15699


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ряд
 Сообщение Добавлено: 25 фев 2018, 14:38 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1650
nnosipov писал(а):

P.S. Навеяно последними сообщениями в теме http://www.alexlarin.com/viewtopic.php?f=4&t=15699


Ими же навеяно то, что надо аккуратнее оговорить, что есть ряд в данном случае.

Ибо этот ряд вряд ли сходится абсолютно, поэтому [если бы он был действительно-числовым] переменой мест слагаемых можно было бы достичь любого результата.

Так что придется тщательно оговаривать/доказывать, зависит ли сумма от порядка суммирования. Ну или доказать абсолютную сходимость :)

А если все замести под ковер, как было сделано в в пред. теме, то понятно, что там мало что останется, кроме суммы обратных квадратов всех ненулевых целых гауссовых чисел.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ряд
 Сообщение Добавлено: 25 фев 2018, 18:31 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 393
Поверьте на слово, с формулировкой все хоккей :) А то, что там мало что останется --- святая правда! Но зато ответ какой симпатичный. Я под Новый год с этой задачкой развлекался (на предмет, с какой скоростью сходится ряд, но об этом позже, если возникнет интерес). Вообще, это хорошая учебная задача (на мой взгляд, конечно).


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ряд
 Сообщение Добавлено: 25 фев 2018, 22:06 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1650
nnosipov писал(а):
Поверьте на слово, с формулировкой все хоккей :) А то, что там мало что останется --- святая правда! Но зато ответ какой симпатичный. Я под Новый год с этой задачкой развлекался (на предмет, с какой скоростью сходится ряд, но об этом позже, если возникнет интерес). Вообще, это хорошая учебная задача (на мой взгляд, конечно).


Но чтобы говорить о скорости сходимости точно надо оговорить порядок суммирования.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ряд
 Сообщение Добавлено: 25 фев 2018, 23:07 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 393
alex123 писал(а):
Но чтобы говорить о скорости сходимости точно надо оговорить порядок суммирования.

Да, безусловно. Предполагается суммировать по квадратам. Можно по ромбам (повернутым квадратам), но результат будет тем же.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ряд
 Сообщение Добавлено: 25 фев 2018, 23:21 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1650
nnosipov писал(а):
alex123 писал(а):
Но чтобы говорить о скорости сходимости точно надо оговорить порядок суммирования.

Да, безусловно. Предполагается суммировать по квадратам. Можно по ромбам (повернутым квадратам), но результат будет тем же.


Да по любым центрально-симметричным относительно нуля концентрическим фигурам [скорость сходимости] должна быть одинакова, скорее всего.

Но чем вам так задачка нравится - не понимаю. У меня один из критериев "нравится-не нравится" состоит в том, что если без надзирателя над душой решать не хочется, то и не нравится. Если я знаю разумный способ решения, но реализовывать его лениво - мне тоже такая задачка не нравится.


И эта задачка, на первый взгляд, принадлежит обоим плохим классам.

Кстати, к моему стыду, я не знаю на берегу, без очевидного счета, ответа на вопрос, чему равна сумма обратных квадратов целых гауссовых чисел. И гугл тоже не знает - видимо вопрос слишком искусственный, чтобы быть общеизвестным.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ряд
 Сообщение Добавлено: 25 фев 2018, 23:38 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 393
alex123 писал(а):
Да по любым центрально-симметричным относительно нуля концентрическим фигурам [скорость сходимости] должна быть одинакова, скорее всего.

Вполне возможно, но вот с кругами у меня ничего не вышло.

alex123 писал(а):
Но чем вам так задачка нравится - не понимаю. У меня один из критериев "нравится-не нравится" состоит в том, что если без надзирателя над душой решать не хочется, то и не нравится. Если я знаю разумный способ решения, но реализовывать его лениво - мне тоже такая задачка не нравится.

Вычислений там немного, если речь идет только о сумме. Скорость сходимости --- здесь поинтересней (и поразнообразней в плане методов).

alex123 писал(а):
Кстати, к моему стыду, я не знаю на берегу, без очевидного счета, ответа на вопрос, чему равна сумма обратных квадратов целых гауссовых чисел.

Да просто расходится он (это же не одномерный случай, можно погуглить дзета-функцию Эпштейна). Нет, в данной задаче миссия обратных квадратов в другом.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ряд
 Сообщение Добавлено: 25 фев 2018, 23:46 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1650
nnosipov писал(а):
Да просто расходится он (это же не одномерный случай, можно погуглить дзета-функцию Эпштейна). Нет, в данной задаче миссия обратных квадратов в другом.


Тогда стыд в квадрате и минус 100500 к интуиции. Был уверен в сходимости.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ряд
 Сообщение Добавлено: 15 мар 2018, 12:15 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 393
Ответ: сумма равна $\pi$ (лучше было бы это сообщить вчера, в честь праздничка, так сказать :) ).


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ] 




Список форумов » Просмотр темы - Ряд


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: