Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Интересные задачки




 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ] На страницу 1, 2  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 05 авг 2019, 17:19 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 июл 2019, 17:49
Сообщений: 5
:text-welcomewave:
Получилось pi/6


Вложения:
Безымянный.png
Безымянный.png [ 7.23 KIB | Просмотров: 535 ]
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 08 авг 2019, 01:25 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 970
Откуда: Москва
Эльман Мавло писал(а):
:text-welcomewave:
Получилось pi/6

У меня получилось `\arctan(1/2)+\frac{\pi}6`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 08 авг 2019, 11:54 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6016
Откуда: Москва
Kirill Kolokolcev писал(а):
У меня получилось `\arctan(1/2)+\frac{\pi}6`

Да.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 12 авг 2019, 22:09 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 июл 2019, 17:49
Сообщений: 5
Еще есть мнение на счет данной задачи?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 15 авг 2019, 21:47 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2015, 18:58
Сообщений: 772
Эльман Мавло писал(а):
Еще есть мнение на счет данной задачи?

1) Непосредственное численное вычисление суммы ряда (ряд очень быстро сходится) показывает, что верен ответ `arctan(1/2)+pi/6`;
2) Скажите, а откуда эта задача? Не мог бы кто порекомендовать литературу по решению задач такого типа?
3) Не могли бы Вы представить набросок своего решения (или хотя бы описать ключевую идею) этой задачи?
4) Спасибо за интересные задачки!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 16 авг 2019, 19:08 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6016
Откуда: Москва
Подробности:

Подробности:

ar54 писал(а):
... набросок ... решения ...

`sum_(k=1)^(infty) arc ctg( 2*u_(k)^2)=arc ctg 2+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) arc ctg( 2*(((3sqrt(3)-5)(2+sqrt3)^k+(3sqrt(3)+5)(2-sqrt3)^k)/(2sqrt3))^2)=`

`=arc ctg 2+ lim_(n -> infty) sum_(k=1)^(n) arc ctg( 2*(((sqrt(3)+1)^(2k-1)+(sqrt(3)-1)^(2k-1))/(sqrt(3)*2^k))^2)=arc ctg 2+ lim_(n -> infty) arc ctg( sqrt(3)*((sqrt(3)+1)^(2n)+(sqrt(3)-1)^(2n))/((sqrt(3)+1)^(2n)-(sqrt(3)-1)^(2n)))=arc ctg 2+pi/6.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 16 авг 2019, 20:13 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6016
Откуда: Москва
Подробности:
`2^2=3*1^2+1, qquad (2/1)^2=3+(1/1)^2 quad.`

`7^2=3*4^2+1, qquad (7/4)^2=3+(1/4)^2 quad.`

`26^2=3*15^2+1, qquad ((26)/(15))^2=3+(1/(15))^2 quad.`

`97^2=3*56^2+1, qquad ((97)/(56))^2=3+(1/(56))^2 quad.`

`362^2=3*209^2+1, qquad ((362)/(209))^2=3+(1/(209))^2 quad.`

`1351^2=3*780^2+1, qquad ((1351)/(780))^2=3+(1/(780))^2 quad.`

`...`

`(((sqrt(3)+1)^(2k)+(sqrt(3)-1)^(2k))/(2^(k+1)))^2=3*(((sqrt(3)+1)^(2k)-(sqrt(3)-1)^(2k))/(sqrt(3)*2^(k+1)))^2+1, qquad ( sqrt(3)*((sqrt(3)+1)^(2n)+(sqrt(3)-1)^(2n))/((sqrt(3)+1)^(2n)-(sqrt(3)-1)^(2n)))^2=3+(1/(((sqrt(3)+1)^(2k)-(sqrt(3)-1)^(2k))/(sqrt(3)*2^(k+1))))^2 quad.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 16 авг 2019, 21:19 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2015, 18:58
Сообщений: 772
OlG писал(а):
И тишина...
:)

OlG писал(а):
Подробности:
...
`sum_(k=1)^(infty) arc ctg( 2*u_(k)^2)=arc ctg 2+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) arc ctg( 2*(((3sqrt(3)-5)(2+sqrt3)^k+(3sqrt(3)+5)(2-sqrt3)^k)/(2sqrt3))^2)=`

`=arc ctg 2+ lim_(n -> infty) sum_(k=1)^(n) arc ctg( 2*(((sqrt(3)+1)^(2k-1)+(sqrt(3)-1)^(2k-1))/(sqrt(3)*2^k))^2)=arc ctg 2+ lim_(n -> infty) arc ctg( sqrt(3)*((sqrt(3)+1)^(2n)+(sqrt(3)-1)^(2n))/((sqrt(3)+1)^(2n)-(sqrt(3)-1)^(2n)))=arc ctg 2+pi/6.`
Спасибо большое, OlG!
Общий член последовательности `u_n` я нашел, а дальше - не пошло. Пока еще ваши преобразования для меня не очевидны . Особенно удивительным мне кажется исчезновение суммы после 3-го знака равенства в цепочке, т.е. получается, что
`lim_(n -> infty) sum_(k=1)^(n) arc ctg(f_k)= lim_(n -> infty) arc ctg( g_n)` ???
-- буду разбираться. Еще раз - большое спасибо!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 16 авг 2019, 21:55 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6016
Откуда: Москва
Подробности:
`1^2=3*1^2-1, qquad (1/1)^2=3-2/(1^2) quad.`

`5^2=3*3^2-1, qquad (5/3)^2=3-2/(3^2) quad.`

`19^2=3*11^2-1, qquad ((19)/(11))^2=3-2/(11^2) quad.`

`71^2=3*41^2-1, qquad ((71)/(41))^2=3-2/(41^2) quad.`

`265^2=3*153^2-1, qquad ((265)/(153))^2=3-2/(153^2) quad.`

`989^2=3*571^2-1, qquad ((989)/(571))^2=3-2/(571^2) quad.`

`3691^2=3*2131^2-1, qquad ((3691)/(2131))^2=3-2/(2131^2) quad.`

`...`

Подробности:

`sum_(k=1)^(1) arc ctg( 2*(((sqrt(3)+1)^(2k-1)+(sqrt(3)-1)^(2k-1))/(sqrt(3)*2^k))^2)= arc ctg( sqrt(3)*((sqrt(3)+1)^(2*1)+(sqrt(3)-1)^(2*1))/((sqrt(3)+1)^(2*1)-(sqrt(3)-1)^(2*1))) quad.`

`sum_(k=1)^(2) arc ctg( 2*(((sqrt(3)+1)^(2k-1)+(sqrt(3)-1)^(2k-1))/(sqrt(3)*2^k))^2)= arc ctg( sqrt(3)*((sqrt(3)+1)^(2*2)+(sqrt(3)-1)^(2*2))/((sqrt(3)+1)^(2*2)-(sqrt(3)-1)^(2*2))) quad.`

`sum_(k=1)^(3) arc ctg( 2*(((sqrt(3)+1)^(2k-1)+(sqrt(3)-1)^(2k-1))/(sqrt(3)*2^k))^2)= arc ctg( sqrt(3)*((sqrt(3)+1)^(2*3)+(sqrt(3)-1)^(2*3))/((sqrt(3)+1)^(2*3)-(sqrt(3)-1)^(2*3))) quad.`

`...`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 19 авг 2019, 22:28 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 июл 2019, 17:49
Сообщений: 5
Хоп-Хей Лайла-Лей, Всем Общий Салам! :ymhug:
Выкладываю свое решение данной задачи! Ответ мой не сошелся, но все же попытаюсь!


Вложения:
Безымянный.png
Безымянный.png [ 21.39 KIB | Просмотров: 86 ]
Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ] На страницу 1, 2  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: