Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Интересные задачки




 Страница 2 из 2 [ Сообщений: 19 ] На страницу Пред.  1, 2



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Параметр. Что то новенькое.
 Сообщение Добавлено: 03 ноя 2016, 09:16 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 01 сен 2012, 12:40
Сообщений: 691
Откуда: Сибирь.
Может ли кто нибудь показать решение через производную функции, нахождение максимума функции на отрезках?

_________________
Учиться и учиться, как завещал...


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр. Что то новенькое.
 Сообщение Добавлено: 03 ноя 2016, 09:40 
Не в сети

Зарегистрирован: 08 май 2013, 17:36
Сообщений: 968
sosna24k писал(а):
Может ли кто нибудь показать решение через производную функции, нахождение максимума функции на отрезках?

Это будет практически то же самое, что у Вам уже показывала.


Последний раз редактировалось Ischo_Tatiana 07 ноя 2016, 20:29, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр. Что то новенькое.
 Сообщение Добавлено: 03 ноя 2016, 10:08 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 01 сен 2012, 12:40
Сообщений: 691
Откуда: Сибирь.
Спасибо, Татьяна Владимировна, за то что вы помогли понять смысл решения. @};- @};- Татьяна Владимировна, посмотрите, что я тут обобщила , может еще что-нибудь добавить. Какие - нибудь слова о дифференцировании функции по частям, так чтобы это было понятно школьнику.


Вложения:
Задача 1. 26.10 2016 .pdf [385.8 KIB]
Скачиваний: 455

_________________
Учиться и учиться, как завещал...
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр. Что то новенькое.
 Сообщение Добавлено: 03 ноя 2016, 11:53 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 4401
Откуда: Москва
Подробности:
sosna24k писал(а):
Спасибо, Татьяна Владимировна, за то что вы помогли понять смысл решения. @};- @};- Татьяна Владимировна, посмотрите, что я тут обобщила , может еще что-нибудь добавить. Какие - нибудь слова о дифференцировании функции по частям, так чтобы это было понятно школьнику.

1. Если же `g'(y)<0`, то наибольшее значение убывающая линейная
функция `g(y)` достигает на левом конце промежутка, т.е. при `y=0.`
Подставим значения `(x; quad y; quad z)=(2; quad 0; quad 7)` в `f(x; quad y; quad z)=19x+7y+2x-xyz`
и получим `p_(min)=33.`

2. Вместо вывода всех возможных троек `(x; quad y; quad z)` в которых
`f(x; quad y; quad z)=19x+7y+2x-xyz` достигает наибольшее значение проще
показать, что наибольшее значение достигается в одной или нескольких
вершинах параллелепипеда и проверить все вершины (хотя достаточно
конкретно для данной функции будет проверить четыре вершины, те которые
без двух или трех нулей).

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр. Что то новенькое.
 Сообщение Добавлено: 03 ноя 2016, 16:19 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2015, 18:58
Сообщений: 550
sosna24k писал(а):
... посмотрите, что я тут обобщила , может еще что-нибудь добавить, ... так чтобы это было понятно школьнику.

Уважаемая Галина Владимировна,
может, будут полезны такие соображения по данной задаче:
Подробности:
1) Обобщение. Я бы обратил внимание школьников, что задача относится к следующему классу задач:
Найти минимальное значение параметра `p`, при котором неравенство `p >= f(P)` выполняется для всех точек `P` замкнутой области `bar D`.
В данной задаче
`bar D ={0 <=x<=1; 0 <=y<=2; 0 <=z<=7}` - замкнутая область 3-мерного пространства ("куб"); `P(x,y,z)` - произвольная точка этого пространства; ` f(P) -= f(x,y,z)=19x+7y+2z-xyz`.
2) Ответ в обобщенной задаче очевиден:
`p_min=max_(P in bar D) f(P)`
Но ` bar D = D uu partial D`, где `D={0 <x<1; 0 <y<2; 0 <z<7}` - открытая область, а `partial D = bar D setminus D` - граница области `bar D` (в данном случае - совокупность 6-ти граней куба). Поэтому:
`p_min=max{max_(P in D) f(P); max_(P in partial D) f(P) }`.
3) Далее дело сводится к поиску максимума функции по открытой области (3а), и по ее границе (3б). А затем выбора максимального из этих двух максимумов.
3а) Поиск максимума функции многих переменных в открытой области в общем случае - сложная задача. Она изучается в курсе высшей математики математических факультетов университетов. Однако в случае простой области `D` и простой функции `f(P)` эта задача может быть решена простыми способами, что блестяще нам продемонстрировала Татьяна Владимировна (Ischo_Tatiana) @};- : ею было показано, что максимума не может быть внутри открытой области. Существенное замечание сделал уважаемый OlG, указавший, что максимум может быть как на одной, так и на другой противоположных гранях куба.
Т.о. доказано, что максимум функции достигается на границе куба `partial D `
3б) Поиск максимума на границе. Повторяя для каждой из 6-ти граней куба прием Татьяны Владимировны (с учетом замечания OlG), показываем, что максимум достигается на ребрах куба. Ну а вспоминая, что вдоль каждого из ребер функция линейная, заключаем, что максимум надо искать на множестве вершин куба.
Можно дальше углубляться в анализ, выбрасывая из рассмотрения некоторые из вершин куба (об этом говорил OlG), а можно вычислить значение функции в каждой вершине и найти максимальное из них.

Вот такой общий план решения таких задач можно было бы предложить.

P.S. В одном из своих постов Татьяна Васильевна предложила рассмотреть задачу в области `bar D_1 ={0 <=x<=1; 0 <=y<=4; 0 <=z<=14}`. И в этом случае полностью проходит предложенное совместными усилиями (Т.В., Г.В., OlG) решение: максимум следует искать на множестве вершин куба. Если правильно вычислил, то `p_min=f(0,4,14)=56`.

P.P.S. Кстати, в случае области `bar D_1` внутри нее существует "подозрительная" точка (стационарная или критическая), кандидат на локальный максимум. Эту точку можно найти из решения системы уравнений
`{( (partial f)/(partial x) = 19-yz=0 ), ( (partial f)/(partial y) = 7-xz=0 ), ( (partial f)/(partial z) = 2-xy=0 ) :}`.
Но оказывается, что эта точка является седлом. Что такое точка-седло можно увидеть, нарисовав простейшую функцию 2-х переменных `f(x,y)=xy`. Здесь критическая точка `x=y=0` и есть седло.


Последний раз редактировалось ar54 20 янв 2017, 20:29, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр. Что то новенькое.
 Сообщение Добавлено: 04 ноя 2016, 00:33 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 01 сен 2012, 12:40
Сообщений: 691
Откуда: Сибирь.
ar54, OlG, спасибо за подробный анализ. Я думаю, что Ваши соображения по поводу решения этой задачи очень полезны.
Ischo_Tatiana , спасибо за решение задачи, которое Вы прислали в личном сообщении и на форуме.

_________________
Учиться и учиться, как завещал...


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр. Что то новенькое.
 Сообщение Добавлено: 05 ноя 2016, 12:06 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2015, 18:58
Сообщений: 550
Вот ведь как бывает: уже как будто и думать забыл о задаче, а вот вдруг стукнуло только что в голову... :)
Итак, ищется максимум функции `f(P)` на множестве точек "кубической" области `D={x_min <=x <=x_max;quad y_min <=y <=y_max;quad z_min <=z <=z_max}.
Проведем "сканирование" (имени Т.В. @};- ) по `x`. Используя тот факт, что в этой задаче функция `f(P)` линейна по каждой координате, заключаем, что из рассмотрения можно выбросить полосу `{x_min <x <x_max}`. Т.е. максимум достигается на уже более узком множестве `D_x=D setminus {x_min <x <x_max}`, которое есть ни что иное как две грани куба.
Последующее сканирование по `y` "выкашивает" полосу `{y_min <y <y_max}` , и остается область `D_(xy)=D_x setminus {y_min <y <y_max}`, содержащая только 4 вертикальных ребра куба.
И, наконец, сканирование по `z` "выкашивает" полосу `{z_min <z <z_max}` , и остается область `D_(xyz)=D_(xy) setminus {z_min <z <z_max}`, содержащая только вершины куба.
Таким образом, максимум достигается на множестве вершин куба.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр. Что то новенькое.
 Сообщение Добавлено: 07 ноя 2016, 20:32 
Не в сети

Зарегистрирован: 08 май 2013, 17:36
Сообщений: 968
Уважаемая Галина Владимировна!
Вообще-то это противоречит правилам форума - обсуждать задания олимпиад во время их проведения.
К сожалению, только сегодня узнала о том, что это задача из отборочного тура, еще не закончившегося.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр. Что то новенькое.
 Сообщение Добавлено: 07 ноя 2016, 22:20 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 01 сен 2012, 12:40
Сообщений: 691
Откуда: Сибирь.
Я узнаю это от Вас, Татьяна Владимировна и только сейчас. Извините. Задачу подкинули в учительской, не написали откуда. Понятия не имею: какой отборочный тур? Задача - дерьмовая, вообще сожалею, что взялась за нее.

_________________
Учиться и учиться, как завещал...


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 2 из 2 [ Сообщений: 19 ] На страницу Пред.  1, 2





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: