Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Интересные задачки




 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 14 ] На страницу 1, 2  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Теория чисел
 Сообщение Добавлено: 08 сен 2017, 15:12 
Не в сети

Зарегистрирован: 24 мар 2017, 13:40
Сообщений: 17
Откуда: Киров
Помогите решить задачу 17. Единственное к чему пришел - если доказать б), то автоматически докажется и а)
P.S. проходим тему "Метод математической индукции".


Вложения:
IMG_20170906_131404.pdf [1.38 MIB]
Скачиваний: 587

_________________
Производная крутится - экстремумы мутятся
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Теория чисел
 Сообщение Добавлено: 08 сен 2017, 18:01 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5446
Откуда: Москва
Подробности:
Максим Порошин писал(а):
Помогите решить задачу 17. Единственное к чему пришел - если доказать б), то автоматически докажется и а)
P.S. проходим тему "Метод математической индукции".

Подробности:

1. В пункте а) докажите (можно и по методу математической индукции),
что формула общего члена этой последовательности вот такая:

`qquad a_n=(2a_1-a_2)+(a_2-a_1)*2^(n-1) `.

2. Дальше Сами.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Теория чисел
 Сообщение Добавлено: 08 сен 2017, 20:17 
Не в сети

Зарегистрирован: 12 июн 2016, 12:25
Сообщений: 1609
Откуда: Москва
Формула верна, но хорошо бы объяснить, как ее можно получить:
`a_i=3a_(i-1)-2a_(i-2)`- рекуррентное линейное однородное уравнение второго порядка. Существует алгоритм решения подобных уравнений с помощью характеристического уравнения .Тема хорошо и просто изложена в
пособиии : Маркушевич "Возвратные последовательности"

`q^2=3q-2, q_1=1, q_2=2`

`a_n=C_1+C_2*2^n`

`a_0=C_1+C_2, ` ` a_1=C_1+2C_2=>C_1=2a_0-a_1,C_2=a_1-a_0`

_________________
Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Теория чисел
 Сообщение Добавлено: 10 сен 2017, 21:23 
Не в сети

Зарегистрирован: 24 мар 2017, 13:40
Сообщений: 17
Откуда: Киров
Сомневаюсь что на первом курсе кто-либо в курсе об возвратных последовательностях. Собственно мне интересно как именно задачу свести к использованию матиндукции

_________________
Производная крутится - экстремумы мутятся


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Теория чисел
 Сообщение Добавлено: 10 сен 2017, 22:00 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5446
Откуда: Москва
Подробности:
Максим Порошин писал(а):
Сомневаюсь что на первом курсе кто-либо в курсе об возвратных последовательностях. Собственно мне интересно как именно задачу свести к использованию матиндукции

3.

а) `a_2=3a_1-2a_0=(2a_0-a_1)+(a_1-a_0)*2^2. `

б) `a_3=3a_2-2a_1=3(3a_1-2a_0)-2a_1=7a_1-6a_0=(2a_0-a_1)+(a_1-a_0)*2^3. `

в) `a_4=3a_3-2a_2=3(7a_1-6a_0)-2(3a_1-2a_0)=15a_1-14a_0=(2a_0-a_1)+(a_1-a_0)*2^4. `

4. Сводите задачу к доказательству формулы `a_n=(2a_0-a_1)+(a_1-a_0)*2^n ` по
методу математической индукции.

5. Дальше Сами.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Теория чисел
 Сообщение Добавлено: 10 сен 2017, 22:15 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5446
Откуда: Москва
6. Серия брошюрок "Популярные лекции по математике" предназначена для
школьников старших классов.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Теория чисел
 Сообщение Добавлено: 11 сен 2017, 00:34 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4759
Откуда: Санкт-Петербург
Максим Порошин писал(а):
Помогите решить задачу 17. Единственное к чему пришел - если доказать б), то автоматически докажется и а)
P.S. проходим тему "Метод математической индукции".

Может вы и проходите ММИ. но в данной задаче не сказано, что надо его применить. Можно решить и без возвратных последовательностей, если заметить, что последовательность `b_i=a_(i+1)-a_i=2(a_i-a_(i-1))=2b_(i-1)` образует геометрическую последовательность с q=2. И из суммирования `sum_(i=1)^(n-1) b(i)` получить формулу для вычисления `a_n`, полученную в п.4 предыдущего сообщения.
Несколько смутило условие задачи. т.к. не сказано для каких i применимо рекуррентное соотношение, в частности не сказано какому множеству принадлежит `a_2013`.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Теория чисел
 Сообщение Добавлено: 11 сен 2017, 08:03 
Не в сети

Зарегистрирован: 12 июн 2016, 12:25
Сообщений: 1609
Откуда: Москва
vyv2 писал(а):
Максим Порошин писал(а):
Помогите решить задачу 17. Единственное к чему пришел - если доказать б), то автоматически докажется и а)
P.S. проходим тему "Метод математической индукции".

Может вы и проходите ММИ. но в данной задаче не сказано, что надо его применить. Можно решить и без возвратных последовательностей, если заметить, что последовательность `b_i=a_(i+1)-a_i=2(a_i-a_(i-1))=2b_(i-1)` образует геометрическую последовательность с q=2. И из суммирования `sum_(i=1)^(n-1) b(i)` получить формулу для вычисления `a_n`, полученную в п.4 предыдущего сообщения.
Несколько смутило условие задачи. т.к. не сказано для каких i применимо рекуррентное соотношение, в частности не сказано какому множеству принадлежит `a_2013`.

Красиво и просто, мне понравилось, доказать так формулу Бине не удалось, а по индукции получилось, но мой способ мне нравится больше и OLG прав-понять это может и старшеклассник,интересно,что метод очень похож на вывод общего решения линейного дифференциального уравнения (линейная комбинация независимых решений, нахождение частных решений с помощью характеристического уравнения и т.д.))

_________________
Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Теория чисел
 Сообщение Добавлено: 11 сен 2017, 13:56 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5446
Откуда: Москва
Подробности:
vyv2 писал(а):
Может вы и проходите ММИ. но в данной задаче не сказано, что надо его применить. Можно решить и без возвратных последовательностей, если заметить, что последовательность `b_i=a_(i+1)-a_i=2(a_i-a_(i-1))=2b_(i-1)` образует геометрическую последовательность с q=2. И из суммирования `sum_(i=1)^(n-1) b(i)` получить формулу для вычисления `a_n`, полученную в п.4 предыдущего сообщения.
Несколько смутило условие задачи. т.к. не сказано для каких i применимо рекуррентное соотношение, в частности не сказано какому множеству принадлежит `a_2013`.

7. Распишу для школьников (похожая задача №19 встречалась в диагностических работах):

а) `sum_(i=0)^(n-1) b(i)= sum_(i=1)^(n-1) (a_(i+1)-a_i) =(a_n-a_(n-1))+(a_(n-1)-a_(n-2))+...+(a_2-a_1)+(a_1-a_0)=a_n-a_0.`

б) `sum_(i=0)^(n-1) b(i)=(b_0(2^n-1))/(2-1)=b_0(2^n-1)=(a_1-a_0)(2^n-1)=(a_1-a_0)2^n-(a_1-a_0).`

в) `a_n-a_0=(a_1-a_0)2^n-(a_1-a_0) quad iff quad a_n=(2a_0-a_1)+(a_1-a_0)2^n.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Теория чисел
 Сообщение Добавлено: 11 сен 2017, 14:26 
Не в сети

Зарегистрирован: 24 мар 2017, 13:40
Сообщений: 17
Откуда: Киров
Я обнаружил ещё один способ
Пусть
`a_0=n ; a_1=n+k`(n и k - натуральные)
Вычислим несколько членов
`a_2=3(n+k)-2n=n+3k`
`a_3=3(n+3k)-2(n+k)=n+7k`
`a_4=3(n+7k)-2(n+3k)=n+15k`
Заметим, что коэффициент при k есть "двойка в какой-то степени минус единица"
Исходя из этого, составим формулу m-ного члена.
`a_m=n+k(2^m-1)`
Этот способ также приводит к верным ответам.
P.S. В пункте б) авторы задачи недосмотрели: при `a_0=1` и `a_1=2` имеем ситуацию `2^2013>2^2013`

_________________
Производная крутится - экстремумы мутятся


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 14 ] На страницу 1, 2  След.




Список форумов » Просмотр темы - Теория чисел


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: