Зарегистрирован: 24 мар 2017, 13:40 Сообщений: 17 Откуда: Киров
Помогите решить задачу 17. Единственное к чему пришел - если доказать б), то автоматически докажется и а) P.S. проходим тему "Метод математической индукции".
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6791 Откуда: Москва
Подробности:
Максим Порошин писал(а):
Помогите решить задачу 17. Единственное к чему пришел - если доказать б), то автоматически докажется и а) P.S. проходим тему "Метод математической индукции".
Подробности:
1. В пункте а) докажите (можно и по методу математической индукции), что формула общего члена этой последовательности вот такая:
Зарегистрирован: 12 июн 2016, 12:25 Сообщений: 2193 Откуда: Москва
Формула верна, но хорошо бы объяснить, как ее можно получить: `a_i=3a_(i-1)-2a_(i-2)`- рекуррентное линейное однородное уравнение второго порядка. Существует алгоритм решения подобных уравнений с помощью характеристического уравнения .Тема хорошо и просто изложена в пособиии : Маркушевич "Возвратные последовательности"
Зарегистрирован: 24 мар 2017, 13:40 Сообщений: 17 Откуда: Киров
Сомневаюсь что на первом курсе кто-либо в курсе об возвратных последовательностях. Собственно мне интересно как именно задачу свести к использованию матиндукции
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6791 Откуда: Москва
Подробности:
Максим Порошин писал(а):
Сомневаюсь что на первом курсе кто-либо в курсе об возвратных последовательностях. Собственно мне интересно как именно задачу свести к использованию матиндукции
Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37 Сообщений: 4974 Откуда: Санкт-Петербург
Максим Порошин писал(а):
Помогите решить задачу 17. Единственное к чему пришел - если доказать б), то автоматически докажется и а) P.S. проходим тему "Метод математической индукции".
Может вы и проходите ММИ. но в данной задаче не сказано, что надо его применить. Можно решить и без возвратных последовательностей, если заметить, что последовательность `b_i=a_(i+1)-a_i=2(a_i-a_(i-1))=2b_(i-1)` образует геометрическую последовательность с q=2. И из суммирования `sum_(i=1)^(n-1) b(i)` получить формулу для вычисления `a_n`, полученную в п.4 предыдущего сообщения. Несколько смутило условие задачи. т.к. не сказано для каких i применимо рекуррентное соотношение, в частности не сказано какому множеству принадлежит `a_2013`.
Зарегистрирован: 12 июн 2016, 12:25 Сообщений: 2193 Откуда: Москва
vyv2 писал(а):
Максим Порошин писал(а):
Помогите решить задачу 17. Единственное к чему пришел - если доказать б), то автоматически докажется и а) P.S. проходим тему "Метод математической индукции".
Может вы и проходите ММИ. но в данной задаче не сказано, что надо его применить. Можно решить и без возвратных последовательностей, если заметить, что последовательность `b_i=a_(i+1)-a_i=2(a_i-a_(i-1))=2b_(i-1)` образует геометрическую последовательность с q=2. И из суммирования `sum_(i=1)^(n-1) b(i)` получить формулу для вычисления `a_n`, полученную в п.4 предыдущего сообщения. Несколько смутило условие задачи. т.к. не сказано для каких i применимо рекуррентное соотношение, в частности не сказано какому множеству принадлежит `a_2013`.
Красиво и просто, мне понравилось, доказать так формулу Бине не удалось, а по индукции получилось, но мой способ мне нравится больше и OLG прав-понять это может и старшеклассник,интересно,что метод очень похож на вывод общего решения линейного дифференциального уравнения (линейная комбинация независимых решений, нахождение частных решений с помощью характеристического уравнения и т.д.))
_________________ Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6791 Откуда: Москва
Подробности:
vyv2 писал(а):
Может вы и проходите ММИ. но в данной задаче не сказано, что надо его применить. Можно решить и без возвратных последовательностей, если заметить, что последовательность `b_i=a_(i+1)-a_i=2(a_i-a_(i-1))=2b_(i-1)` образует геометрическую последовательность с q=2. И из суммирования `sum_(i=1)^(n-1) b(i)` получить формулу для вычисления `a_n`, полученную в п.4 предыдущего сообщения. Несколько смутило условие задачи. т.к. не сказано для каких i применимо рекуррентное соотношение, в частности не сказано какому множеству принадлежит `a_2013`.
7. Распишу для школьников (похожая задача №19 встречалась в диагностических работах):
Зарегистрирован: 24 мар 2017, 13:40 Сообщений: 17 Откуда: Киров
Я обнаружил ещё один способ Пусть `a_0=n ; a_1=n+k`(n и k - натуральные) Вычислим несколько членов `a_2=3(n+k)-2n=n+3k` `a_3=3(n+3k)-2(n+k)=n+7k` `a_4=3(n+7k)-2(n+3k)=n+15k` Заметим, что коэффициент при k есть "двойка в какой-то степени минус единица" Исходя из этого, составим формулу m-ного члена. `a_m=n+k(2^m-1)` Этот способ также приводит к верным ответам. P.S. В пункте б) авторы задачи недосмотрели: при `a_0=1` и `a_1=2` имеем ситуацию `2^2013>2^2013`
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения