kicul писал(а):
`y=(x^{x})^x`
`u=x`
`y'=x \times x`
`y=lgu^{v}==lgy`
`v \times lgu=lgy`
`v'lgu+v(lgu)'=(lgy)'`
`v'lnu+v\frac{ 1 }{ u }u'=\frac{ 1 }{ y } \times y`
`y'=u^{v}\times v'lnu+u^{v}^{-1}\times v \times \frac{ 1 }{ u } \times u'`
`y'=(x^{x^{x} } \times xlnu)`
`y'=(x^{x^{x} }\times (x^{x} )'\times lnx+x^{x^{x} } \times x ^{x}=x^{x^{x} }(x^{x} \times x^{x}lnx+x^{x-1} \times x \times x') \times lnx+x^{x^{x} } \times x^{x}`=`x^{x^{x} }(x^{x}ln^{2}x+lnx \times x^{x}+x^{x+1})`
В чем ошибка? Спасибо.
`y=x^(x^x)`
Логарифмируем обе части т.к. они неотрицательны:
`lny=lnx^(x^x)`
`lny=x^x lnx`
Дифференцируем:
`(lny)'=(x^xlnx)'`
`(y')/y=(x^x)'lnx+x^x(lnx)'`
Найдем отдельно производную `x^x`
`qquad qquad qquad qquad y = x^x`
`qquad qquad qquad qquad ` Логарифмируем обе части т.к они не отрицательны
`qquad qquad qquad qquad lny=lnx^x
`qquad qquad qquad qquad (lny)'=(xlnx)'`
`qquad qquad qquad qquad (y')/y=(x)'lnx+x(lnx)'=lnx+1`
`qquad qquad qquad qquad y'=y(lnx+1)`
`qquad qquad qquad qquad y'=x^x(lnx+1)`
`(y')/y=[x^x(lnx+1)]lnx+x^x*1/x`
`y'=y[x^x(ln^2x+lnx)+x^x*1/x]`
`y'=x^(x^x)[x^x(ln^2x+lnx+1/x)]`
`y'=x^(x^x+x)[ln^2x+lnx+1/x]`
Кроме того, есть формула дифференцирования показательно-степенной функции:
`U^V=VU^(V-1)U'+U^VV'lnU`