Математика. Подготовка к ЕГЭ. Решение задач.
http://alexlarin.com/

Неравенство 1
http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=8&t=15464
Страница 1 из 1

Автор:  atakga [ 13 ноя 2017, 20:46 ]
Заголовок сообщения:  Неравенство 1

Здравствуйте! Подскажите пожалуйста идею доказательства неравенства `sin2x<2/(3x-x^2)`, `0<x<pi/2`. Спасибо заранее!

Автор:  alex123 [ 13 ноя 2017, 22:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неравенство 1

Например исследование функций на возрастание и убывание. Возможно вместе с теоремой о бегах. Скорее всего должно хватить.

Автор:  atakga [ 13 ноя 2017, 23:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неравенство 1

Спасибо alex123 за идею. Но теорему о бегах не знаю. Формулируйте пожалуйста эту теорему!

Автор:  alex123 [ 13 ноя 2017, 23:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неравенство 1

atakga писал(а):
Спасибо alex123 за идею. Но теорему о бегах не знаю. Формулируйте пожалуйста эту теорему!


Теорема - громко сказано. Но таки получила народное жаргонное название.
Впрочем она, скорее всего, не понадобится.

ТОБ: Если `f(a)=g(a)` и `f'(x)>g'(x)` всюду на `[a,b]`, то `f(x)>g(x)` всюду на `(a,b]`.

UPD. Не ведомо гуглу такое жаргонное название. И я его слышал нечасто. И не помню, от кого.

Автор:  atakga [ 14 ноя 2017, 07:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неравенство 1

Спасибо еще раз alex123!

Автор:  MathUser [ 14 ноя 2017, 08:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неравенство 1

atakga писал(а):
Спасибо еще раз alex123!

Удалось доказать неравенство таким способом?
Если что-то пойдёт не так, попробуйте:
1) сначала сузить промежуток до `[1,\frac{\pi}{2}]`, т.к. при `0<x<1` правая часть неравенства больше единицы (пусть далее правая часть обозначается через `f(x)`).
2) используйте касательную `y=\frac{3-x}{2}` к графику `f` при `x=1` и проверьте, что `\frac{3-x}{2}>\sin(2x)` на промежутке пункта 1 (производная разности `\frac{3-x}{2}-\sin(2x)` положительна).
3) поскольку `f''>0` на `[1,\frac{\pi}{2}]`, то график `f` располагается выше касательной, что доказывает исходное неравенство.

Автор:  atakga [ 14 ноя 2017, 12:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неравенство 1

Очень благодарен Вам MathUser за идею использования касательной!

Автор:  voloch [ 14 ноя 2017, 18:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неравенство 1

alex123 писал(а):
Теорема - громко сказано. Но таки получила народное жаргонное название.
Впрочем она, скорее всего, не понадобится.

ТОБ: Если `f(a)=g(a)` и `f'(x)>g'(x)` всюду на `[a,b]`, то `f(x)>g(x)` всюду на `(a,b]`.

UPD. Не ведомо гуглу такое жаргонное название. И я его слышал нечасто. И не помню, от кого.
Это частный случай так называемой леммы о дифференциальных неравенствах (теорема Чаплыгина, а в более общем виде со сверх слабыми условиями это лемма Зигмунда). У меня дома есть даже книжка Жарского про это... вот эта: http://www.nsc.ru/interval/Library/Appl ... zarski.pdf

Автор:  alex123 [ 14 ноя 2017, 22:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неравенство 1

voloch писал(а):
alex123 писал(а):
Теорема - громко сказано. Но таки получила народное жаргонное название.
Впрочем она, скорее всего, не понадобится.

ТОБ: Если `f(a)=g(a)` и `f'(x)>g'(x)` всюду на `[a,b]`, то `f(x)>g(x)` всюду на `(a,b]`.

UPD. Не ведомо гуглу такое жаргонное название. И я его слышал нечасто. И не помню, от кого.
Это частный случай так называемой леммы о дифференциальных неравенствах (теорема Чаплыгина, а в более общем виде со сверх слабыми условиями это лемма Зигмунда). У меня дома есть даже книжка Жарского про это... вот эта: http://www.nsc.ru/interval/Library/Appl ... zarski.pdf


Не пугайте детей :)

Кстати, вам известно какое-то народно-жаргонное название в духе бегов-ипподромов-гонок или меня глючит и никакого жаргона для такого пустяка нет?

Автор:  voloch [ 15 ноя 2017, 22:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неравенство 1

alex123 писал(а):
Кстати, вам известно какое-то народно-жаргонное название в духе бегов-ипподромов-гонок или меня глючит и никакого жаргона для такого пустяка нет?
Не, никогда не слышал.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/