Автор |
Сообщение |
Булёля
|
Заголовок сообщения: Теория чисел. Добавлено: 20 ноя 2017, 07:34 |
|
Зарегистрирован: 07 дек 2011, 18:31 Сообщений: 49
|
Подскажите, пожалуйста.
Числа (а+2017), (в+2018), (с+2019) отличные от нуля целые числа, попарно взаимно простые. Причем `(a+2017)/(b+2018)+(b+2018)/(c+2019)+(c+2019)/(a+2017)=d` , где d - натуральное. В ответе нужно указать наименьшее значение авсd.
|
|
|
|
|
|
|
olka-109
|
Заголовок сообщения: Re: Теория чисел. Добавлено: 20 ноя 2017, 11:23 |
|
Зарегистрирован: 18 фев 2014, 05:07 Сообщений: 3189 Откуда: Томск
|
Булёля писал(а): Подскажите, пожалуйста.
Числа (а+2017), (в+2018), (с+2019) отличные от нуля целые числа, попарно взаимно простые. Причем `(a+2017)/(b+2018)+(b+2018)/(c+2019)+(c+2019)/(a+2017)=d` , где d - натуральное. В ответе нужно указать наименьшее значение авсd. Обозначим `A=a+2017,quadB=b+2018,quadC=c+2019` `(A^2C+B^2A+C^2B)/(ABC)=d` Из этого нужно доказать (используя взаимную простоту), что `A=+-1,quadB=+-1,quadC=+-1`. И посчитать наименьшее `abcd`
_________________ Любовь правит миром (uStas и др.)
|
|
|
|
|
Булёля
|
Заголовок сообщения: Re: Теория чисел. Добавлено: 20 ноя 2017, 15:47 |
|
Зарегистрирован: 07 дек 2011, 18:31 Сообщений: 49
|
Спасибо. Я получала такое выражение, но для меня не очевидно, как доказать, что числа равны 1 или -1. И считаем ли мы одинаковые числа взаимно простыми?
|
|
|
|
|
olka-109
|
Заголовок сообщения: Re: Теория чисел. Добавлено: 20 ноя 2017, 16:21 |
|
Зарегистрирован: 18 фев 2014, 05:07 Сообщений: 3189 Откуда: Томск
|
Булёля писал(а): Спасибо. Я получала такое выражение, но для меня не очевидно, как доказать, что числа равны 1 или -1. И считаем ли мы одинаковые числа взаимно простыми? .Одинаковые числа конечно же не взаимно простые Доказать можно так: Возьмём произведение `ABC`. Если это произведение делится на какое-то число, то значит одно из чисел `A,B` или `C` делится на это число. А значит два слагаемых числителя делятся на это число. Но тогда и третье слагаемое делится на это число, а этого не может быть, так как числа взаимно простые.
_________________ Любовь правит миром (uStas и др.)
|
|
|
|
|
Булёля
|
Заголовок сообщения: Re: Теория чисел. Добавлено: 20 ноя 2017, 16:44 |
|
Зарегистрирован: 07 дек 2011, 18:31 Сообщений: 49
|
Но тогда d может быть натуральным числом (d=3) только при А=В=С=1 или А=В=С=-1. Одинаковые числа мы взаимно простыми не считаем. Во всех остальных случаях d=-1 и не удовлетворяет условию задачи. Я в полном ступоре.
|
|
|
|
|
olka-109
|
Заголовок сообщения: Re: Теория чисел. Добавлено: 20 ноя 2017, 18:09 |
|
Зарегистрирован: 18 фев 2014, 05:07 Сообщений: 3189 Откуда: Томск
|
Булёля писал(а): Но тогда d может быть натуральным числом (d=3) только при А=В=С=1 или А=В=С=-1. Одинаковые числа мы взаимно простыми не считаем. Во всех остальных случаях d=-1 и не удовлетворяет условию задачи. Я в полном ступоре. Единицы - это особый случай. Они друг другу взаимно простые. Поэтому берём `A=D=C=-1`, для того, чтобы `a,b` и `c` были минимальными.
_________________ Любовь правит миром (uStas и др.)
|
|
|
|
|
alex123
|
Заголовок сообщения: Re: Теория чисел. Добавлено: 20 ноя 2017, 18:19 |
|
Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13 Сообщений: 1940
|
Булёля писал(а): Одинаковые числа мы взаимно простыми не считаем. Причем тут "считаем - не считаем"? Если определение: два целых числа называются взаимно-простыми, тогда, и только тогда, когда их НОД равен единице. А НОД(a,a)=|a|. Если a не равно нулю, конечно
|
|
|
|
|
olka-109
|
Заголовок сообщения: Re: Теория чисел. Добавлено: 20 ноя 2017, 18:30 |
|
Зарегистрирован: 18 фев 2014, 05:07 Сообщений: 3189 Откуда: Томск
|
alex123 писал(а): Булёля писал(а): Одинаковые числа мы взаимно простыми не считаем. Причем тут "считаем - не считаем"? Если определение: два целых числа называются взаимно-простыми, тогда, и только тогда, когда их НОД равен единице. А НОД(a,a)=|a|. Если a не равно нулю, конечно Ну, или, проще говоря, общие делители взаимно простых чисел это `1` и `-1`
_________________ Любовь правит миром (uStas и др.)
|
|
|
|
|
alex123
|
Заголовок сообщения: Re: Теория чисел. Добавлено: 20 ноя 2017, 18:34 |
|
Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13 Сообщений: 1940
|
olka-109 писал(а): Ну, или, проще говоря, общие делители взаимно простых чисел это `1` и `-1` И ТОЛЬКО ОНИ! Боюсь, что эта буквоедская оговорочка будет не лишней в данном конкретном случае
|
|
|
|
|
olka-109
|
Заголовок сообщения: Re: Теория чисел. Добавлено: 20 ноя 2017, 18:37 |
|
Зарегистрирован: 18 фев 2014, 05:07 Сообщений: 3189 Откуда: Томск
|
alex123 писал(а): olka-109 писал(а): Ну, или, проще говоря, общие делители взаимно простых чисел это `1` и `-1` И ТОЛЬКО ОНИ! Боюсь, что эта буквоедская оговорочка будет не лишней в данном конкретном случае Согласна! Не лишней
_________________ Любовь правит миром (uStas и др.)
|
|
|
|
|
|
|
|