Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Интересные задачки




 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ] На страницу 1, 2  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Теория чисел.
 Сообщение Добавлено: 20 ноя 2017, 07:34 
Не в сети

Зарегистрирован: 07 дек 2011, 18:31
Сообщений: 39
Подскажите, пожалуйста.

Числа (а+2017), (в+2018), (с+2019) отличные от нуля целые числа, попарно взаимно простые. Причем
`(a+2017)/(b+2018)+(b+2018)/(c+2019)+(c+2019)/(a+2017)=d` , где d - натуральное.
В ответе нужно указать наименьшее значение авсd.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Теория чисел.
 Сообщение Добавлено: 20 ноя 2017, 11:23 
Не в сети

Зарегистрирован: 18 фев 2014, 05:07
Сообщений: 3109
Откуда: Томск
Булёля писал(а):
Подскажите, пожалуйста.

Числа (а+2017), (в+2018), (с+2019) отличные от нуля целые числа, попарно взаимно простые. Причем
`(a+2017)/(b+2018)+(b+2018)/(c+2019)+(c+2019)/(a+2017)=d` , где d - натуральное.
В ответе нужно указать наименьшее значение авсd.

Обозначим `A=a+2017,quadB=b+2018,quadC=c+2019`

`(A^2C+B^2A+C^2B)/(ABC)=d`

Из этого нужно доказать (используя взаимную простоту), что `A=+-1,quadB=+-1,quadC=+-1`. И посчитать наименьшее `abcd`

_________________
Любовь правит миром (uStas и др.)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Теория чисел.
 Сообщение Добавлено: 20 ноя 2017, 15:47 
Не в сети

Зарегистрирован: 07 дек 2011, 18:31
Сообщений: 39
Спасибо. Я получала такое выражение, но для меня не очевидно, как доказать, что числа равны 1 или -1. И считаем ли мы одинаковые числа взаимно простыми?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Теория чисел.
 Сообщение Добавлено: 20 ноя 2017, 16:21 
Не в сети

Зарегистрирован: 18 фев 2014, 05:07
Сообщений: 3109
Откуда: Томск
Булёля писал(а):
Спасибо. Я получала такое выражение, но для меня не очевидно, как доказать, что числа равны 1 или -1. И считаем ли мы одинаковые числа взаимно простыми?

.Одинаковые числа конечно же не взаимно простые :D
Доказать можно так:
Возьмём произведение `ABC`. Если это произведение делится на какое-то число, то значит одно из чисел `A,B` или `C` делится на это число. А значит два слагаемых числителя делятся на это число. Но тогда и третье слагаемое делится на это число, а этого не может быть, так как числа взаимно простые.

_________________
Любовь правит миром (uStas и др.)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Теория чисел.
 Сообщение Добавлено: 20 ноя 2017, 16:44 
Не в сети

Зарегистрирован: 07 дек 2011, 18:31
Сообщений: 39
Но тогда d может быть натуральным числом (d=3) только при А=В=С=1 или А=В=С=-1. Одинаковые числа мы взаимно простыми не считаем. Во всех остальных случаях d=-1 и не удовлетворяет условию задачи. Я в полном ступоре.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Теория чисел.
 Сообщение Добавлено: 20 ноя 2017, 18:09 
Не в сети

Зарегистрирован: 18 фев 2014, 05:07
Сообщений: 3109
Откуда: Томск
Булёля писал(а):
Но тогда d может быть натуральным числом (d=3) только при А=В=С=1 или А=В=С=-1. Одинаковые числа мы взаимно простыми не считаем. Во всех остальных случаях d=-1 и не удовлетворяет условию задачи. Я в полном ступоре.

Единицы - это особый случай. Они друг другу взаимно простые.
Поэтому берём `A=D=C=-1`, для того, чтобы `a,b` и `c` были минимальными.

_________________
Любовь правит миром (uStas и др.)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Теория чисел.
 Сообщение Добавлено: 20 ноя 2017, 18:19 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1551
Булёля писал(а):
Одинаковые числа мы взаимно простыми не считаем.


Причем тут "считаем - не считаем"?

Если определение: два целых числа называются взаимно-простыми, тогда, и только тогда, когда их НОД равен единице.

А НОД(a,a)=|a|. Если a не равно нулю, конечно :)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Теория чисел.
 Сообщение Добавлено: 20 ноя 2017, 18:30 
Не в сети

Зарегистрирован: 18 фев 2014, 05:07
Сообщений: 3109
Откуда: Томск
alex123 писал(а):
Булёля писал(а):
Одинаковые числа мы взаимно простыми не считаем.


Причем тут "считаем - не считаем"?

Если определение: два целых числа называются взаимно-простыми, тогда, и только тогда, когда их НОД равен единице.

А НОД(a,a)=|a|. Если a не равно нулю, конечно :)

Ну, или, проще говоря, общие делители взаимно простых чисел это `1` и `-1` :)

_________________
Любовь правит миром (uStas и др.)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Теория чисел.
 Сообщение Добавлено: 20 ноя 2017, 18:34 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1551
olka-109 писал(а):
Ну, или, проще говоря, общие делители взаимно простых чисел это `1` и `-1` :)


И ТОЛЬКО ОНИ! :)

Боюсь, что эта буквоедская оговорочка будет не лишней в данном конкретном случае :)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Теория чисел.
 Сообщение Добавлено: 20 ноя 2017, 18:37 
Не в сети

Зарегистрирован: 18 фев 2014, 05:07
Сообщений: 3109
Откуда: Томск
alex123 писал(а):
olka-109 писал(а):
Ну, или, проще говоря, общие делители взаимно простых чисел это `1` и `-1` :)


И ТОЛЬКО ОНИ! :)

Боюсь, что эта буквоедская оговорочка будет не лишней в данном конкретном случае :)

Согласна! Не лишней :)

_________________
Любовь правит миром (uStas и др.)


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ] На страницу 1, 2  След.




Список форумов » Просмотр темы - Теория чисел.


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: