Математика. Подготовка к ЕГЭ. Решение задач.
http://alexlarin.com/

Теория чисел.
http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=8&t=15489
Страница 1 из 2

Автор:  Булёля [ 20 ноя 2017, 07:34 ]
Заголовок сообщения:  Теория чисел.

Подскажите, пожалуйста.

Числа (а+2017), (в+2018), (с+2019) отличные от нуля целые числа, попарно взаимно простые. Причем
`(a+2017)/(b+2018)+(b+2018)/(c+2019)+(c+2019)/(a+2017)=d` , где d - натуральное.
В ответе нужно указать наименьшее значение авсd.

Автор:  olka-109 [ 20 ноя 2017, 11:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория чисел.

Булёля писал(а):
Подскажите, пожалуйста.

Числа (а+2017), (в+2018), (с+2019) отличные от нуля целые числа, попарно взаимно простые. Причем
`(a+2017)/(b+2018)+(b+2018)/(c+2019)+(c+2019)/(a+2017)=d` , где d - натуральное.
В ответе нужно указать наименьшее значение авсd.

Обозначим `A=a+2017,quadB=b+2018,quadC=c+2019`

`(A^2C+B^2A+C^2B)/(ABC)=d`

Из этого нужно доказать (используя взаимную простоту), что `A=+-1,quadB=+-1,quadC=+-1`. И посчитать наименьшее `abcd`

Автор:  Булёля [ 20 ноя 2017, 15:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория чисел.

Спасибо. Я получала такое выражение, но для меня не очевидно, как доказать, что числа равны 1 или -1. И считаем ли мы одинаковые числа взаимно простыми?

Автор:  olka-109 [ 20 ноя 2017, 16:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория чисел.

Булёля писал(а):
Спасибо. Я получала такое выражение, но для меня не очевидно, как доказать, что числа равны 1 или -1. И считаем ли мы одинаковые числа взаимно простыми?

.Одинаковые числа конечно же не взаимно простые :D
Доказать можно так:
Возьмём произведение `ABC`. Если это произведение делится на какое-то число, то значит одно из чисел `A,B` или `C` делится на это число. А значит два слагаемых числителя делятся на это число. Но тогда и третье слагаемое делится на это число, а этого не может быть, так как числа взаимно простые.

Автор:  Булёля [ 20 ноя 2017, 16:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория чисел.

Но тогда d может быть натуральным числом (d=3) только при А=В=С=1 или А=В=С=-1. Одинаковые числа мы взаимно простыми не считаем. Во всех остальных случаях d=-1 и не удовлетворяет условию задачи. Я в полном ступоре.

Автор:  olka-109 [ 20 ноя 2017, 18:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория чисел.

Булёля писал(а):
Но тогда d может быть натуральным числом (d=3) только при А=В=С=1 или А=В=С=-1. Одинаковые числа мы взаимно простыми не считаем. Во всех остальных случаях d=-1 и не удовлетворяет условию задачи. Я в полном ступоре.

Единицы - это особый случай. Они друг другу взаимно простые.
Поэтому берём `A=D=C=-1`, для того, чтобы `a,b` и `c` были минимальными.

Автор:  alex123 [ 20 ноя 2017, 18:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория чисел.

Булёля писал(а):
Одинаковые числа мы взаимно простыми не считаем.


Причем тут "считаем - не считаем"?

Если определение: два целых числа называются взаимно-простыми, тогда, и только тогда, когда их НОД равен единице.

А НОД(a,a)=|a|. Если a не равно нулю, конечно :)

Автор:  olka-109 [ 20 ноя 2017, 18:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория чисел.

alex123 писал(а):
Булёля писал(а):
Одинаковые числа мы взаимно простыми не считаем.


Причем тут "считаем - не считаем"?

Если определение: два целых числа называются взаимно-простыми, тогда, и только тогда, когда их НОД равен единице.

А НОД(a,a)=|a|. Если a не равно нулю, конечно :)

Ну, или, проще говоря, общие делители взаимно простых чисел это `1` и `-1` :)

Автор:  alex123 [ 20 ноя 2017, 18:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория чисел.

olka-109 писал(а):
Ну, или, проще говоря, общие делители взаимно простых чисел это `1` и `-1` :)


И ТОЛЬКО ОНИ! :)

Боюсь, что эта буквоедская оговорочка будет не лишней в данном конкретном случае :)

Автор:  olka-109 [ 20 ноя 2017, 18:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория чисел.

alex123 писал(а):
olka-109 писал(а):
Ну, или, проще говоря, общие делители взаимно простых чисел это `1` и `-1` :)


И ТОЛЬКО ОНИ! :)

Боюсь, что эта буквоедская оговорочка будет не лишней в данном конкретном случае :)

Согласна! Не лишней :)

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/