Автор |
Сообщение |
atakga
|
Заголовок сообщения: Неравенство 1 Добавлено: 13 ноя 2017, 20:46 |
|
Зарегистрирован: 20 дек 2013, 17:51 Сообщений: 118 Откуда: Занзибар
|
Здравствуйте! Подскажите пожалуйста идею доказательства неравенства `sin2x<2/(3x-x^2)`, `0<x<pi/2`. Спасибо заранее!
|
|
|
|
|
|
|
alex123
|
Заголовок сообщения: Re: Неравенство 1 Добавлено: 13 ноя 2017, 22:13 |
|
Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13 Сообщений: 1940
|
Например исследование функций на возрастание и убывание. Возможно вместе с теоремой о бегах. Скорее всего должно хватить.
|
|
|
|
|
atakga
|
Заголовок сообщения: Re: Неравенство 1 Добавлено: 13 ноя 2017, 23:18 |
|
Зарегистрирован: 20 дек 2013, 17:51 Сообщений: 118 Откуда: Занзибар
|
Спасибо alex123 за идею. Но теорему о бегах не знаю. Формулируйте пожалуйста эту теорему!
|
|
|
|
|
alex123
|
Заголовок сообщения: Re: Неравенство 1 Добавлено: 13 ноя 2017, 23:24 |
|
Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13 Сообщений: 1940
|
atakga писал(а): Спасибо alex123 за идею. Но теорему о бегах не знаю. Формулируйте пожалуйста эту теорему! Теорема - громко сказано. Но таки получила народное жаргонное название. Впрочем она, скорее всего, не понадобится. ТОБ: Если `f(a)=g(a)` и `f'(x)>g'(x)` всюду на `[a,b]`, то `f(x)>g(x)` всюду на `(a,b]`. UPD. Не ведомо гуглу такое жаргонное название. И я его слышал нечасто. И не помню, от кого.
|
|
|
|
|
atakga
|
Заголовок сообщения: Re: Неравенство 1 Добавлено: 14 ноя 2017, 07:30 |
|
Зарегистрирован: 20 дек 2013, 17:51 Сообщений: 118 Откуда: Занзибар
|
|
|
|
|
MathUser
|
Заголовок сообщения: Re: Неравенство 1 Добавлено: 14 ноя 2017, 08:28 |
|
Зарегистрирован: 04 мар 2011, 21:28 Сообщений: 649
|
atakga писал(а): Спасибо еще раз alex123! Удалось доказать неравенство таким способом? Если что-то пойдёт не так, попробуйте: 1) сначала сузить промежуток до `[1,\frac{\pi}{2}]`, т.к. при `0<x<1` правая часть неравенства больше единицы (пусть далее правая часть обозначается через `f(x)`). 2) используйте касательную `y=\frac{3-x}{2}` к графику `f` при `x=1` и проверьте, что `\frac{3-x}{2}>\sin(2x)` на промежутке пункта 1 (производная разности `\frac{3-x}{2}-\sin(2x)` положительна). 3) поскольку `f''>0` на `[1,\frac{\pi}{2}]`, то график `f` располагается выше касательной, что доказывает исходное неравенство.
|
|
|
|
|
atakga
|
Заголовок сообщения: Re: Неравенство 1 Добавлено: 14 ноя 2017, 12:16 |
|
Зарегистрирован: 20 дек 2013, 17:51 Сообщений: 118 Откуда: Занзибар
|
Очень благодарен Вам MathUser за идею использования касательной!
|
|
|
|
|
voloch
|
Заголовок сообщения: Re: Неравенство 1 Добавлено: 14 ноя 2017, 18:30 |
|
Зарегистрирован: 08 дек 2012, 21:53 Сообщений: 711
|
alex123 писал(а): Теорема - громко сказано. Но таки получила народное жаргонное название. Впрочем она, скорее всего, не понадобится.
ТОБ: Если `f(a)=g(a)` и `f'(x)>g'(x)` всюду на `[a,b]`, то `f(x)>g(x)` всюду на `(a,b]`.
UPD. Не ведомо гуглу такое жаргонное название. И я его слышал нечасто. И не помню, от кого. Это частный случай так называемой леммы о дифференциальных неравенствах (теорема Чаплыгина, а в более общем виде со сверх слабыми условиями это лемма Зигмунда). У меня дома есть даже книжка Жарского про это... вот эта: http://www.nsc.ru/interval/Library/Appl ... zarski.pdf
|
|
|
|
|
alex123
|
Заголовок сообщения: Re: Неравенство 1 Добавлено: 14 ноя 2017, 22:25 |
|
Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13 Сообщений: 1940
|
voloch писал(а): alex123 писал(а): Теорема - громко сказано. Но таки получила народное жаргонное название. Впрочем она, скорее всего, не понадобится.
ТОБ: Если `f(a)=g(a)` и `f'(x)>g'(x)` всюду на `[a,b]`, то `f(x)>g(x)` всюду на `(a,b]`.
UPD. Не ведомо гуглу такое жаргонное название. И я его слышал нечасто. И не помню, от кого. Это частный случай так называемой леммы о дифференциальных неравенствах (теорема Чаплыгина, а в более общем виде со сверх слабыми условиями это лемма Зигмунда). У меня дома есть даже книжка Жарского про это... вот эта: http://www.nsc.ru/interval/Library/Appl ... zarski.pdfНе пугайте детей Кстати, вам известно какое-то народно-жаргонное название в духе бегов-ипподромов-гонок или меня глючит и никакого жаргона для такого пустяка нет?
|
|
|
|
|
voloch
|
Заголовок сообщения: Re: Неравенство 1 Добавлено: 15 ноя 2017, 22:54 |
|
Зарегистрирован: 08 дек 2012, 21:53 Сообщений: 711
|
alex123 писал(а): Кстати, вам известно какое-то народно-жаргонное название в духе бегов-ипподромов-гонок или меня глючит и никакого жаргона для такого пустяка нет? Не, никогда не слышал.
|
|
|
|
|
|
|
|