Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Интересные задачки




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Тригонометрическое тождество
 Сообщение Добавлено: 30 ноя 2017, 19:20 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 365
Пусть $N$ нечетно. Докажите, что $\sum_{j=0}^{N-1} j\tan{\frac{\pi j}{N}}=\frac{N}{2}\sum_{j=1}^{N-1} (-1)^j\cot{\frac{\pi j}{N}}$.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое тождество
 Сообщение Добавлено: 15 дек 2017, 19:24 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 365
На всякий случай сообщу (хотя, полагаю, многие догадались), что $\tan$ --- это тангенс, а $\cot$ --- котангенс.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое тождество
 Сообщение Добавлено: 28 дек 2017, 18:48 
Не в сети

Зарегистрирован: 08 дек 2012, 21:53
Сообщений: 686
nnosipov писал(а):
На всякий случай сообщу (хотя, полагаю, многие догадались), что $\tan$ --- это тангенс, а $\cot$ --- котангенс.

А что мешало так написать?
$\sum_{j=0}^{N-1} j\cdot\operatorname{tg}{\frac{\pi j}{N}}=\frac{N}{2}\sum_{j=1}^{N-1} (-1)^j \cdot\operatorname{ctg}{\frac{\pi j}{N}}$


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое тождество
 Сообщение Добавлено: 28 дек 2017, 19:30 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4504
Откуда: Санкт-Петербург
voloch писал(а):
nnosipov писал(а):
На всякий случай сообщу (хотя, полагаю, многие догадались), что $\tan$ --- это тангенс, а $\cot$ --- котангенс.

А что мешало так написать?
$\sum_{j=0}^{N-1} j\cdot\operatorname{tg}{\frac{\pi j}{N}}=\frac{N}{2}\sum_{j=1}^{N-1} (-1)^j \cdot\operatorname{ctg}{\frac{\pi j}{N}}$

Давно таких задач не встречал.
Исписал кучу бумаги (чувствую внуки займут первое место по макулатуре), испробовал разне подходы - ничего не получилось.
Остался еще один неиспользованный способ - рассмотреть углы относительно `pi/4`, тангенс которого 1. Руки не доходят.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое тождество
 Сообщение Добавлено: 29 дек 2017, 08:57 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 365
voloch, под Firefox это, увы, не работает.

vyv2, большое спасибо, что поучаствовали. Эту задачу я сочинил по аналогии с задачей 11873 (Amer. Math. Monthly, 2017, V. 124, № 8, p. 756). Возможно, совсем школьного пути решения здесь и нет (это-то мне и хотелось выяснить в первую очередь, всякое бывает). С другой стороны, подобные тождества обычно происходят от каких-то тождеств с многочленами. Как получать такие тождества с многочленами --- отдельный вопрос, здесь возможны разные подходы. Я использую довольно стандартную технику (разложение в бесконечные ряды и перемена порядка суммирования). Поскольку в данном случае бесконечные ряды --- это что-то типа геометрических прогрессий, данную технику с некоторой натяжкой можно назвать школьной. Более мощная техника --- это, конечно, вычеты из ТФКП. Но в данном примере она не работает: каждую из сумм по отдельности, по-видимому, нельзя вычислить, можно только "перелопатить" одну в другую. Деталей здесь хватает, я написал по этому поводу (вычисление конечных тригонометрических сумм) целую статью для "Мат. просвещения", выйдет в ближайшем выпуске.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое тождество
 Сообщение Добавлено: 29 дек 2017, 13:26 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4504
Откуда: Санкт-Петербург
[quote="nnosipov"][/quote]
Amer. Math. Monthly у меня с 001-144, а дальше не могу найти бесплатно. С 1997 года за одну страниу нужно заплатить 1$. Раздел Задачи и решения это где-то 19 стр - 19$.
Математическое просвещение тоже есть все выпуски, кроме №21. Ваша статья наверное выйдет в №22. Будет возможность - с удовольствием познакомлюсь.
Зато в процессе решения нашел понравившеюся мне старую книгу по тригонометрии, перепечатанную в серии "Mishigan Historical Reprint Series" S.L.Loney . Plane Trigonometry, Cambridgt, 1893, котрая к сожалению не помогла. Но там много интересных задач по тригонометрии.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое тождество
 Сообщение Добавлено: 29 дек 2017, 13:48 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 365
vyv2, ответил в ЛС.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое тождество
 Сообщение Добавлено: 11 янв 2018, 18:50 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 365
Кстати, можно добавить пару двоечек: $\sum_{j=0}^{N-1} j^2\tan{\frac{\pi j}{N}}=\frac{N^2}{2}\sum_{j=1}^{N-1} (-1)^j\cot{\frac{\pi j}{N}}$ (легко следует из тождества в стартовом сообщении).


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: