Математика. Подготовка к ЕГЭ. Решение задач.
http://alexlarin.com/

Геометрическое неравенство
http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=8&t=15611
Страница 1 из 1

Автор:  atakga [ 08 янв 2018, 22:54 ]
Заголовок сообщения:  Геометрическое неравенство

Подскажите пожалуйста как доказать неравенство без привлечения тригонометрии: `c≥(3sqrt(3)-1)r`, где c гипотенуза, r - радиус вписанной окружности. Спасибо!

Автор:  сергей королев [ 08 янв 2018, 23:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическое неравенство

Немного поправлю шрифт: `c>=(3sqrt(3)-1)r`, где `c` гипотенуза, `r` - радиус вписанной окружности.
Без тригонометрии пока доказательства не вижу. С тригонометрией - вижу:
Используем
1) `r=(a+b-c)/2`
2)`a/c+b/c=sinx+cosx<=sqrt2`

Автор:  OlG [ 09 янв 2018, 00:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическое неравенство

Подробности:
atakga писал(а):
Подскажите пожалуйста как доказать неравенство без привлечения тригонометрии: `c ge (3sqrt(3)-1)r`, где c гипотенуза, r - радиус вписанной окружности. Спасибо!

1. `sqrt(a^2b^2) le (a^2+b^2)/2 quad iff quad 2ab le c^2.`

2. `r/c=(a+b-c)/(2c)=(sqrt((a+b)^2)-c)/(2c)=(sqrt(c^2+2ab)-c)/(2c) le (sqrt2-1)/2=1/(2(sqrt2+1)).`

3. `c ge 2(sqrt2+1)r gt (3sqrt3-1)r.`

Автор:  atakga [ 09 янв 2018, 07:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическое неравенство

Очень благодарен Вам сергей королев и OlG!

Автор:  Awakeza [ 15 май 2018, 10:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическое неравенство

This topic is most useful.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/