|
Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]
Автор |
Сообщение |
nnosipov
|
Заголовок сообщения: Ряд Добавлено: 24 фев 2018, 19:26 |
|
Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11 Сообщений: 466
|
Пусть $\Lambda$ --- решетка целых гауссовых чисел на комплексной плоскости, $\beta$ --- любое комплексное число, не принадлежащее $\Lambda$. Найти $\frac{1}{\beta}+\frac{1}{1-\beta}+\sum_{0 \neq \alpha \in \Lambda} \left(\frac{1}{\alpha+\beta}+\frac{1}{1-\alpha-\beta}+\frac{1}{\alpha^2}\right)$. (Можно также попробовать угадать ответ, рассматривая задачу как тест.) P.S. Навеяно последними сообщениями в теме viewtopic.php?f=4&t=15699
|
|
|
|
|
|
|
alex123
|
Заголовок сообщения: Re: Ряд Добавлено: 25 фев 2018, 14:38 |
|
Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13 Сообщений: 1940
|
nnosipov писал(а): Ими же навеяно то, что надо аккуратнее оговорить, что есть ряд в данном случае. Ибо этот ряд вряд ли сходится абсолютно, поэтому [если бы он был действительно-числовым] переменой мест слагаемых можно было бы достичь любого результата. Так что придется тщательно оговаривать/доказывать, зависит ли сумма от порядка суммирования. Ну или доказать абсолютную сходимость А если все замести под ковер, как было сделано в в пред. теме, то понятно, что там мало что останется, кроме суммы обратных квадратов всех ненулевых целых гауссовых чисел.
|
|
|
|
|
nnosipov
|
Заголовок сообщения: Re: Ряд Добавлено: 25 фев 2018, 18:31 |
|
Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11 Сообщений: 466
|
Поверьте на слово, с формулировкой все хоккей А то, что там мало что останется --- святая правда! Но зато ответ какой симпатичный. Я под Новый год с этой задачкой развлекался (на предмет, с какой скоростью сходится ряд, но об этом позже, если возникнет интерес). Вообще, это хорошая учебная задача (на мой взгляд, конечно).
|
|
|
|
|
alex123
|
Заголовок сообщения: Re: Ряд Добавлено: 25 фев 2018, 22:06 |
|
Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13 Сообщений: 1940
|
nnosipov писал(а): Поверьте на слово, с формулировкой все хоккей А то, что там мало что останется --- святая правда! Но зато ответ какой симпатичный. Я под Новый год с этой задачкой развлекался (на предмет, с какой скоростью сходится ряд, но об этом позже, если возникнет интерес). Вообще, это хорошая учебная задача (на мой взгляд, конечно). Но чтобы говорить о скорости сходимости точно надо оговорить порядок суммирования.
|
|
|
|
|
nnosipov
|
Заголовок сообщения: Re: Ряд Добавлено: 25 фев 2018, 23:07 |
|
Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11 Сообщений: 466
|
alex123 писал(а): Но чтобы говорить о скорости сходимости точно надо оговорить порядок суммирования. Да, безусловно. Предполагается суммировать по квадратам. Можно по ромбам (повернутым квадратам), но результат будет тем же.
|
|
|
|
|
alex123
|
Заголовок сообщения: Re: Ряд Добавлено: 25 фев 2018, 23:21 |
|
Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13 Сообщений: 1940
|
nnosipov писал(а): alex123 писал(а): Но чтобы говорить о скорости сходимости точно надо оговорить порядок суммирования. Да, безусловно. Предполагается суммировать по квадратам. Можно по ромбам (повернутым квадратам), но результат будет тем же. Да по любым центрально-симметричным относительно нуля концентрическим фигурам [скорость сходимости] должна быть одинакова, скорее всего. Но чем вам так задачка нравится - не понимаю. У меня один из критериев "нравится-не нравится" состоит в том, что если без надзирателя над душой решать не хочется, то и не нравится. Если я знаю разумный способ решения, но реализовывать его лениво - мне тоже такая задачка не нравится. И эта задачка, на первый взгляд, принадлежит обоим плохим классам. Кстати, к моему стыду, я не знаю на берегу, без очевидного счета, ответа на вопрос, чему равна сумма обратных квадратов целых гауссовых чисел. И гугл тоже не знает - видимо вопрос слишком искусственный, чтобы быть общеизвестным.
|
|
|
|
|
nnosipov
|
Заголовок сообщения: Re: Ряд Добавлено: 25 фев 2018, 23:38 |
|
Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11 Сообщений: 466
|
alex123 писал(а): Да по любым центрально-симметричным относительно нуля концентрическим фигурам [скорость сходимости] должна быть одинакова, скорее всего. Вполне возможно, но вот с кругами у меня ничего не вышло. alex123 писал(а): Но чем вам так задачка нравится - не понимаю. У меня один из критериев "нравится-не нравится" состоит в том, что если без надзирателя над душой решать не хочется, то и не нравится. Если я знаю разумный способ решения, но реализовывать его лениво - мне тоже такая задачка не нравится. Вычислений там немного, если речь идет только о сумме. Скорость сходимости --- здесь поинтересней (и поразнообразней в плане методов). alex123 писал(а): Кстати, к моему стыду, я не знаю на берегу, без очевидного счета, ответа на вопрос, чему равна сумма обратных квадратов целых гауссовых чисел. Да просто расходится он (это же не одномерный случай, можно погуглить дзета-функцию Эпштейна). Нет, в данной задаче миссия обратных квадратов в другом.
|
|
|
|
|
alex123
|
Заголовок сообщения: Re: Ряд Добавлено: 25 фев 2018, 23:46 |
|
Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13 Сообщений: 1940
|
nnosipov писал(а): Да просто расходится он (это же не одномерный случай, можно погуглить дзета-функцию Эпштейна). Нет, в данной задаче миссия обратных квадратов в другом. Тогда стыд в квадрате и минус 100500 к интуиции. Был уверен в сходимости.
|
|
|
|
|
nnosipov
|
Заголовок сообщения: Re: Ряд Добавлено: 15 мар 2018, 12:15 |
|
Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11 Сообщений: 466
|
Ответ: сумма равна $\pi$ (лучше было бы это сообщить вчера, в честь праздничка, так сказать ).
|
|
|
|
|
|
|
|
Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7 |
|
|
|
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения
|
|
|