Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Интересные задачки




 Страница 2 из 2 [ Сообщений: 16 ] На страницу Пред.  1, 2



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Еще один подорвался
 Сообщение Добавлено: 07 май 2018, 09:35 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 395
WWS писал(а):
P.S.
еще мысль - `k=(a^n+b^n)/(sqtr(ab)^n+1)` для натуральных а, b, k - k всегда `n`- ая степень???

А что, мысль правильная, это действительно можно доказать. На всякий случай сформулирую подробно.

Пусть натуральные числа $a$, $b$, $n$ и $k$ таковы, что $$\frac{a^n+b^n}{\sqrt{ab}^n+1}=k.$$ Тогда число $k$ является точной $n$-й степенью.

Если интересно, можем пообсуждать доказательство.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Еще один подорвался
 Сообщение Добавлено: 07 май 2018, 21:16 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 27 дек 2015, 11:32
Сообщений: 487
Откуда: г. Октябрьск
nnosipov писал(а):
WWS писал(а):
P.S.
еще мысль - `k=(a^n+b^n)/(sqtr(ab)^n+1)` для натуральных а, b, k - k всегда `n`- ая степень???

А что, мысль правильная, это действительно можно доказать. На всякий случай сформулирую подробно.

Пусть натуральные числа $a$, $b$, $n$ и $k$ таковы, что <p align="center">$\displaystyle{\frac{a^n+b^n}{\sqrt{ab}^n+1}=k.}$</p> Тогда число $k$ является точной $n$-й степенью.

До геометрического решения исходной задачи дошел.

nnosipov писал(а):
Если интересно, можем пообсуждать доказательство.

Да. любопытно. Но,вопрос - будет ли метод работать на`n+1`-ой гиперболе?

_________________
Ничего не понимаю!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Еще один подорвался
 Сообщение Добавлено: 07 май 2018, 22:11 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 395
Кстати говоря, полезно исходную задачу сформулировать "во всей ее красе" (чего обычно почему-то не делают).

Пусть натуральные числа $a$, $b$ и $k$ таковы, что $$k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}.$$ Докажите, что $\sqrt{k}=\gcd{(a,b)}$.

Это сильно поможет при доказательстве обобщения на $n$-е степени.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Еще один подорвался
 Сообщение Добавлено: 08 май 2018, 00:19 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1692
nnosipov писал(а):
Кстати говоря, полезно исходную задачу сформулировать "во всей ее красе" (чего обычно почему-то не делают).

Пусть натуральные числа $a$, $b$ и $k$ таковы, что $$k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}.$$ Докажите, что $\sqrt{k}=\gcd{(a,b)}$.

Это сильно поможет при доказательстве обобщения на $n$-е степени.


Не делают потому, что это подсказка :)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Еще один подорвался
 Сообщение Добавлено: 08 май 2018, 06:04 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 395
А как это подсказывает? Я всегда считал это усложнением задачи. Справляется ли Vieta jumping с такой версией задачи? (У меня к таким задачам другой подход, более естественный, как мне кажется.)

Upd. Да, Vieta jumping здесь также работает, но требуются чуть более культурные рассуждения.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Еще один подорвался
 Сообщение Добавлено: 09 май 2018, 20:11 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1692
nnosipov писал(а):
А как это подсказывает? Я всегда считал это усложнением задачи. Справляется ли Vieta jumping с такой версией задачи? (У меня к таким задачам другой подход, более естественный, как мне кажется.)

Upd. Да, Vieta jumping здесь также работает, но требуются чуть более культурные рассуждения.

Более естественные подходы обычно требуют сильно нешкольных знаний. Которые не то, чтобы сложные, но редко бывают даже у очень сильного школьника.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 2 из 2 [ Сообщений: 16 ] На страницу Пред.  1, 2





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: