Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Интересные задачки




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Экстремальные многочлены
 Сообщение Добавлено: 13 апр 2018, 20:37 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 395
... из массовой школы, что русской, что израильской, испарились задачки на доказательство неравенств. И тривиальные учебные задачи стали "олимпиадными" (из темы viewtopic.php?f=671&t=15501&start=0)

Да, и это печально. Вот задача на еще один совершенно классический сюжет, также незаслуженно забытый.

Квадратный трехчлен $f(x)=ax^2+bx+c$ удовлетворяет условию: $|f(x)| \leqslant 1$ для всех $x \in [0,1]$. Найдите наибольшее значение $|bc|$. (Усложненный вариант: заменить отрезок $[0,1]$ на $[-1,1]$, но здесь, к сожалению, ответ получается не совсем школьный.)

Такие задачи вполне бы могли заменить бессмысленные задачи с параметром, предлагаемые на ЕГЭ.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремальные многочлены
 Сообщение Добавлено: 14 апр 2018, 12:27 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1691
А чем задача принципиально лучше кондовых "параметров"? По-моему примерно тоже самое.

А способов решения и правда много -
школьное двигание параболы с пониманием, что происходит с коэффициентами;
школьные же манипуляции с параболой без какого-либо понимания;
рассуждения в духе Чебышевского альтернанса;
тупое решение выпуклой задачи о касании многогранника и гиперболического цилиндра;

всякие трюки.

Под спойлером один из таких трюков [и полное решение - если кто хочет его не видеть и порешать сам]. Почему-то мне кажется, что Вы хотели иного решения:)

Подробности:
0: `|c|<=1`;
`1/2`: `|a+2b+4c|<=4`;
1: `|a+b+c|<=1`.

Отсюда `b = (a+2b+4c)-(a+b+c)-3c` --> по неравенству треугольника, `|b|<=8`.
Значит `|bc|<=8`. И `8x^2-8x+1` подходит, значит оценка точная.

А если трюк Вам все же нравится и он и был предполагаемым решением, значит Вы его повысили с трюка до линейной алгебры :)


Со второй задачей этот трюк не проходит, оценка не точная, так что, скорее всего, школьник будет терзать первые два метода. Вполне в духе вступительной математики.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремальные многочлены
 Сообщение Добавлено: 14 апр 2018, 14:05 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 395
alex123 писал(а):
А чем задача принципиально лучше кондовых "параметров"? По-моему примерно тоже самое.

Технически --- да (хотя, на мой взгляд, решение задач на "минимакс" требует большей математической культуры, в то время как обычная "задача с параметром" вполне алгоритмична). Но здесь есть хоть какая-то связь с настоящей математикой (с замечательными результатами Чебышева и братьев Марковых, относящимися к конструктивной теории функций).

alex123 писал(а):
А способов решения и правда много - школьное двигание параболы с пониманием, что происходит с коэффициентами; школьные же манипуляции с параболой без какого-либо понимания; рассуждения в духе Чебышевского альтернанса; тупое решение выпуклой задачи о касании многогранника и гиперболического цилиндра; всякие трюки.

Да, честно говоря, не знаю, что можно было бы сюда добавить :) Это же хорошо, когда есть выбор.

alex123 писал(а):
Под спойлером один из таких трюков [и полное решение - если кто хочет его не видеть и порешать сам]. Почему-то мне кажется, что Вы хотели иного решения:)

Подробности:
0: `|c|<=1`;
`1/2`: `|a+2b+4c|<=4`;
1: `|a+b+c|<=1`.

Отсюда `b = (a+2b+4c)-(a+b+c)-3c` --> по неравенству треугольника, `|b|<=8`.
Значит `|bc|<=8`. И `8x^2-8x+1` подходит, значит оценка точная.

А если трюк Вам все же нравится и он и был предполагаемым решением, значит Вы его повысили с трюка до линейной алгебры :)

На мой взгляд, это и есть самое правильное решение. Помимо линейной алгебры, я бы еще упомянул интерполяционную формулу Лагранжа. Это начало долгого пути в сторону неравенства В.А. Маркова.

alex123 писал(а):
Со второй задачей этот трюк не проходит, оценка не точная, так что, скорее всего, школьник будет терзать первые два метода. Вполне в духе вступительной математики.

И здесь все верно. У меня, кстати, аккуратное решение не сразу получилось. К тому же я сначала ошибся в ответе (интуиция подвела --- напрашивающаяся $1/2$ не является правильным ответом). Так что школьнику придется здесь потрудиться.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремальные многочлены
 Сообщение Добавлено: 14 апр 2018, 14:12 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1691
nnosipov писал(а):
На мой взгляд, это и есть самое правильное решение.


У этого решения есть один принципиальный недостаток - на берегу непонятно, хватит ли полученных оценок для получения ответа.

Причем оценки могут быть неулучшаемы, но, тем не менее, ответа не доставлять.

А второй принципиальный недостаток - подобное решение не требует никакого понимания.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремальные многочлены
 Сообщение Добавлено: 14 апр 2018, 15:56 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 395
alex123 писал(а):
У этого решения есть один принципиальный недостаток - на берегу непонятно, хватит ли полученных оценок для получения ответа.

Причем оценки могут быть неулучшаемы, но, тем не менее, ответа не доставлять.

Согласен, но, думаю, этот недостаток есть у любого метода решения задач на экстремальные многочлены. Тем не менее, для отрезка $[0,1]$ (и любого другого отрезка, не содержащего внутри себя $0$) все будет хорошо: дело в том, что верхние границы для всех коэффициентов достигаются одновременно (здесь только один экстремальный многочлен --- это многочлен Чебышева 1-го рода $T_n$, перенесенный на отрезок $[0,1]$). Другое дело отрезок $[-1,1]$, в этом случае у разных коэффициентов будут, вообще говоря, разные экстремальные многочлены. Но иногда и здесь можно докрутить идею с интерполяцией. (Например, в случае, когда мы хотим найти максимум суммы модулей коэффициентов многочлена $f(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$ при условии, что $|f(x)| \leqslant 1$ при $x \in [-1,1]$.)

alex123 писал(а):
А второй принципиальный недостаток - подобное решение не требует никакого понимания.

Ну, не знаю. У меня некоторое просветление произошло, когда я понял, что интерполировать нужно в корнях многочлена Чебышева $T_n$. Впрочем, тема экстремальных многочленов сложна сама по себе, и полного понимания ожидать не приходится a priori. Собственно, мое чуть ли не единственное достижение в этой области --- это решение упомянутой выше задачи про наибольшую сумму модулей коэффициентов многочлена. Кстати, при $n=2$ эта задача в свое время предлагалась на олимпиадах Ленинграда и Москвы.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремальные многочлены
 Сообщение Добавлено: 14 апр 2018, 16:19 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1691
Непонимание я относил к решению через линейные оценки. А идея с многочленами Чебышева редко приходит сама, обычно ее приносит журнал Квант или университетский курс вычмата.

Так что у детей практически единственный выход - понять совсем очевидные свойства оптимального многочлена и решить экстремальную задачу через Лагранжиан, что довольно жестоко по отношению к детям.

Если я не проврался, то ответ - корень уравнения шестой степени, примерно равный 0.7. Наверное не обошлось без алкогольных шуточек на тему поллитра мало, надо ноль-семь.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремальные многочлены
 Сообщение Добавлено: 14 апр 2018, 18:27 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 395
alex123 писал(а):
Если я не проврался, то ответ - корень уравнения шестой степени, примерно равный 0.7. Наверное не обошлось без алкогольных шуточек на тему поллитра мало, надо ноль-семь.

Вообще-то третьей, а про ноль-семь --- в точку :) Но все же без лагранжиана, это был бы перебор. Действительно, подвигать параболу туда-сюда и немного посчитать. В общем, если бы не некрасивый ответ, была бы хорошая задачка.

Откуда я ее взял: китайским школьникам на какой-то олимпиаде лет восемь назад она предлагалась в "комплекснозначном" варианте: вместо отрезка $[-1,1]$ был круг $|z| \leqslant 1$ (ответ в ней совершенно другой и красивый, кстати). Подумалось, а почему бы не рассмотреть вещественный вариант.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремальные многочлены
 Сообщение Добавлено: 14 апр 2018, 22:25 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1691
nnosipov писал(а):
Вообще-то третьей


Может и третьей. Ответ - нечто из квадратичного расширения поля третьей степени. Так что либо шестой, либо третьей, если повезло и корни извлекаются.

А китайских школьников больно бьют, чтобы научить курить, как зайцев. Я бы школьником вряд ли бы такое осилил. Да и теперь не руками делал, а пару кнопок в мат.пакете нажал.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: