В прямоугольном треугольнике АВС BD - высота к гипотенузе АС, r - радиус вписанной окружности, ВЕ и BF - биссектрисы углов ABD и DBC. Доказать, что `r=(a+b)/2`, где a и b - перпендикуляры из Е и F на АВ и ВС соответственно.

_________________
Сопротивление бесполезно.

1. Представим пятиугольник описанный вокруг окружности, 3 угла у которого прямые:


`AN=MC=r`, `NB=BM` - как касательные к окружности `=>AB=BC=AN+NB=BM+MC=>/_CAB=/_BCA` но `/_CAB=/_ACH=>/_BCA=/_ACH=>CA` - биссектриса `/_BCH`.

2. Вернемся к задаче:
`triangleBGE=triangleBED=>GE=GD=a`,
`triangleBDF=triangleBFH=>DF=FH=b`,
`ED+DF=2r=>r={a+b}/2`.

1. Почему не можете утверждать? Доказательство - нормальное.

_________________
Никуда не тороплюсь!

2. Кратко алгебраически:

`(GE+FH)/2=(ED+DF)/2=1/2((((c^2)/b)*h_(b))/(h_(b)+c)+(((a^2)/b)*h_(b))/(h_(b)+a))=(ac)/(2b)((c^2)/(ac+bc)+(a^2)/(ac+ab))=(ac)/(2b)(c/(b+a)+a/(b+c))=`

`=(ac)/(2b)((b-a)/c+(b-c)/a)=(ab-a^2+bc-c^2)/(2b)=(a+c-b)/2=r.`

_________________
Никуда не тороплюсь!

3. Кратко тригонометрически:

`(GE+FH)/2=(ED+DF)/2=h_(b)/2(tg(45^@-alpha/2)+tg(alpha/2))=h_(b)/2*(sin(45^@))/(cos(45^@-alpha/2)cos(alpha/2))=h_(b)/(sqrt2)*1/(cos(45^@-alpha)+cos(45^@))=`

`=h_(b)/(sin alpha+cos alpha+1)=(h_(b)(sin alpha+cos alpha-1))/(2sin alpha cos alpha)=(a+c-b)/2=r.`

_________________
Никуда не тороплюсь!

кратко геометрически :

_________________
Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.

Большое спасибо за решения.
OIG, не могу утверждать так как не доказал невозможность другой конструкции, то есть мной доказан определенный частный случай, но для общего доказательства нету.

4. Устно геометрически:

`{(/_CEB=/_CBE=45^@+alpha/2),(/_AFB=/_ABF=45^@+gamma/2):} quad iff quad {(CB=CE),(AB=AF):} quad => quad GE+FH=ED+DF=EF=a+c-b=2r.`

_________________
Никуда не тороплюсь!

5. Очень кратко геометрически (рисунок и обозначения под спойлером):

а) `/_EAO=/_ECO=alpha/2, quad /_FBO=/_FCO=beta/2 quad => quad` вокруг четырехугольников `ACOE` и `BCOF` можно
описать окружности, тогда `/_CEO=alpha/2, quad /_CFO=beta/2 quad => quad OC=OF=OE, quad /_EOF=2*/_ECF=90^@.`

б) `/_KEO=/_KFO=45^@, quad EK=KF=OK=r quad => quad x+y=GE+FH=ED+DF=EF=EK+KF=2r.`

_________________
Никуда не тороплюсь!