В равнобедренном треугольнике АВС `/_B=100^o`, АB=BC=a, AC=b. Доказать, что 1) `a^3+b^3=3a^2b`, 2) `S_(Delta ABC)=sqrt3/13 sqrt(b(4a^3+b^3))`.

_________________
Сопротивление бесполезно.

Не очень красиво , но коротко :
`b/(2a)=cos40^@ ; cos3alpha=4cos^3alpha-3cosalpha ; ;cos120^@=4*b^3/(8a^3)-(3b)/(2a)=-1/2 =>b^3-3ba^2=-a^3 =>a^3+b^3=3ba^2`

_________________
Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.

1.

а) `360^@=100^@+100^@+100^@+60^@, quad` поэтому достраиваем треугольник `ABC` до

треугольника с углами `80^@,quad 80^@, quad 20^@` и сторонами `b, quad (b^2)/(b-a), quad (b^2)/(b-a).`

б) Получили задачу, которую умеем решать - Равнобедренный треугольник 45:

`qquad ((b^2)/(b-a))^3+b^3=3((b^2)/(b-a))^2b quad => quad a^3+b^3=3a^2b.`

_________________
Никуда не тороплюсь!

2.

а) `{(k=b/a), (k^3=3k-1):} quad , quad k^2-1=(k+1)(k-1)=1/3((3k-1)+4)((3k-1)-2k)=1/3k(k^3+4)(k^2-2).`

_________________
Никуда не тороплюсь!

2.

б) `F quad land quad E in AC, quad /_ABF=/_CBE=40^@, quad c=FE, quad AF=BF=BE=CE=(b-c)/2.`

в) `DeltaABC sim DeltaABF sim DeltaBCE, quad a/b=((b-c)/2)/a, quad c=(b^2-2a^2)/b, quad (b-c)/2=a^2/b, quad (b+c)/2=(b^2-a^2)/b.`

г) Получили задачу, которую умеем решать - Равнобедренный треугольник 45:

`qquad S_(DeltaFBE)=((b-c)/2)/4sqrt(c((b-c)/2+c)), quad S_(DeltaABC)=b/c*((b-c)/2)/4sqrt(c((b+c)/2))=(a^2)/(4(b^2-2a^2))sqrt((b^2-2a^2)(b^2-a^2))=`

`qquad =(a^2)/4sqrt((k^2-1)/(k^2-2))=(a^2)/4sqrt(1/3k(k^3+4))=(sqrt3)/(12) sqrt(b(4a^3+b^3)).`

_________________
Никуда не тороплюсь!