Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Геометрия » Планиметрия от vyv2




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Многоугольник 16
 Сообщение Добавлено: 15 окт 2016, 00:00 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4974
Откуда: Санкт-Петербург
Окружность с центром О вписана в правильный пятиугольник ABCDE, а правильный пятиугольник A'B'C'D'E' вписан в окружность О. Линии A'A"B", B'B"C", C'C"D", D'D"E", E'E"A" перпендикулярны A'E', A'B', B'C', C'D', D'E' соответственно. Доказать, что S=S1, где S1 - площадь пятиугольника A"B"C"D"E", а S - площадь зеленоватой области.
Вложение:
430.jpg
430.jpg [ 43.12 KIB | Просмотров: 2978 ]

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Многоугольник 16
 Сообщение Добавлено: 14 апр 2017, 09:11 
Не в сети

Зарегистрирован: 02 сен 2014, 21:14
Сообщений: 84
Откуда: Санкт-Петербург
Число 5 тут, к слову, несущественно - это правда для любого правильного многоугольника.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Многоугольник 16
 Сообщение Добавлено: 15 окт 2017, 12:02 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4974
Откуда: Санкт-Петербург
Задача, по-видимому, не вызвала интереса и продержалась без решения больше года, несмотря на 1930 просмотров.
Пусть `alpha=pi/n`, где n=5 . Обозначим через R, r, a , R', r', a', R'', r", a" - радиусы описанных окружностей, радиусы вписанных окружностей и стороны n-многоугольников ABCDE, A'B'C'D'E', A"B"C"D"E" соответственно. Тогда
`R=a/(2sinalpha)qquad r=a/(2tgalpha)`
`R'=r=a/(2tgalpha)qquad r'=R'cosalpha=(acos^2alpha)/(2sinalpha)qquada'=2R'sinalpha=acosalpha`
`A'A''=(a')/(tg(2 alpha))=(a cos alpha)/(tg(2 alpha))qquadA''E'=(a')/(sin(2 alpha))=a/(2sin alpha)qquad a''=A''E'-A'A''=asin alphaqquadr''=(a'')/(2tg alpha)=(acos alpha)/2`
Площадь n-угольника A"B"C"D"E" равна `n/2r''a''=na^2sin(2 alpha)/8`,
площадь зеленоватой области равна`n/2(r-r')(a+a')=na^2sin(2 alpha)/8`и они равны.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: