vyv2 писал(а):
Вокруг треугольника АВС описана окружность 1. CD -биссектриса угла С, FH перпендикулярен к середине ВС, а EG перпендикулярен к с середине АС. Доказать, что треугольники DGE, DHF, CFG имеют одинаковые площади.
Вложение:
Вложение 401.jpg больше недоступно.
`GLperpFC,quadquadDJperpEG,quadquadDJnnEG=K,quadquadDJparallelAC`
`S_(DeltaGFC)=1/2GL*FC,quadquadS_(DeltaEDC)=1/2EG*DK`
`GL=EG`, так как `CD` — биссектриса. Докажем, что `FC=DK`.
Так как `EGperpAC` и `AE=EC`, следовательно `EG` проходит через центр окружности и `DK=KJ`
Дуга `JC` равна дуге `DA`(стягивают параллельные прямые), дуга `DA` равна дуге `BD` (стягивают равные углы), следовательно, дуга `BD` равна дуге `JC`, и `DJ=BC`, а `DK=FC`.
`S_(DeltaGFC)=S_(DeltaEDC)`
У треугольников `DFH` и `FGC` общая высота, и нужно лишь доказать, что `DH=GC`.
`DeltaDKG=DeltaHFC` (по стороне и углу), следовательно `DH=GC` и `S_(DeltaDFH)=S_(DeltaFJC)`