Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Геометрия » Планиметрия от vyv2




 Страница 1 из 6 [ Сообщений: 54 ] На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Ромб 14
 Сообщение Добавлено: 25 сен 2017, 14:26 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4756
Откуда: Санкт-Петербург
Даны 4 точки A. B, C ,D на одной прямой при известных расстояниях AB=m и CD=n. Провести через них две пары параллельных линий так, чтобы в пересечении получился квадрат. Указать, возможно ли при том же условии построение ромба с данным углом `alpha`.
Замечание: порядок следования точек на прямой не указан, также как через какие точки проводить параллельные линии.
Вложение:
237vf.jpg
237vf.jpg [ 3.9 KIB | Просмотров: 909 ]

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ромб 14
 Сообщение Добавлено: 11 май 2018, 12:33 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 161
За эту задачу отдельное спасибо.
Задача безусловно имеет классическое решение, но я применю "открытый" мною (более чем уверен что до меня его открыли еще древнегреческие геометры) метод "двигательной" геометрии.

1. Пусть на плоскости расположено четыре коллинеарных точки `A`, `B`, `C` и `D` (считаем что задано их расположение относительно друг друга)

Вложение:
110518 1.png
110518 1.png [ 6.43 KIB | Просмотров: 607 ]


2. Пары параллельных прямых можно проводить через произвольно выбранные точки, но мы рассмотрим наиболее простой (на мой взгляд) вариант - первая пара через `A` и `B`, а вторая соответственно через `C` и `D`.
Так как строить мы будем квадрат, пусть `EFGH` то определить ГМТ для его вершины можно следующим образом:
-первую вершину мы получим как пересечение прямых проведенных через `B` и `C`, соответственно строим окружность на диаметре `BC` окружность `E`.
-вторую вершину мы получим как пересечение прямых проведенных через `B` и `D`, соответственно строим окружность на диаметре `BD` окружность `F`.
-третью вершину мы получим как пересечение прямых проведенных через `A` и `D`, соответственно строим окружность на диаметре `AD` окружность `G`.
-четвертую вершину мы получим как пересечение прямых проведенных через `A` и `C`, соответственно строим окружность на диаметре `AC` окружность `G`.

Получили такое расположение окружностей ГМТ:
Вложение:
110518 2.png
110518 2.png [ 12.36 KIB | Просмотров: 607 ]


3. Осталось непосредственно вписать квадрат.
Для этого воспользуемся главной и единственной аксиомой (так как аналитического доказательства я не имею :-j ) "Двигательной геометрии", а именно:

Если произвольно выбранную точку геометрического тела двигать по заданной траектории, при этом закрепив любую другую точку тела неподвижно, все другие точки тела будут двигаться по точно такой же траектории как и двигаемая, кроме закрепленной естественно.

-из точки `A` строим секущую пересекающую окружности `G` и `H` в точках `G'` и `H'`, в принципе этого уже достаточно для построения ГМТ точек `D_E` и `D_F`, которые будут окружностями. В случае вырождения секущей в точку `A`, точки `E'` и `F'` совпадут с `A`. В случае когда секущая совпадет с `AD` то `E'` совпадет с `C` а `F'` с `D`. Для наглядности я построил еще пару квадратов.



4. Точки пересечения `D_E` с `E` и `D_F` с `F` дадут нам сторону искомого квадрата. Дальше тривиально:
Вложение:
110518 5.png
110518 5.png [ 28.35 KIB | Просмотров: 605 ]



Если зачередовать пары параллельных в другой последовательности то получим другой квадрат. Для каждой пары 1. Всего возможно построить три различных квадрата для пар: 1-2, 3-4; 1-3, 2-4, 1-4, 2-3.

Для случая ромба - если помимо циркуля и линейки есть возможно отложить угол `alpha` то построить, на первый взгляд, тоже возможно. ГМТ точек будет представлять собой часть дуги, на которые опираются угол `alpha`.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ромб 14
 Сообщение Добавлено: 11 май 2018, 13:06 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 161
Для ромба все отлично работает.

Вложение:
110518 6.png
110518 6.png [ 24.73 KIB | Просмотров: 597 ]


Но к сожалению такое построение невозможно для циркуля с линейкой. Исключая углы которые можно отложить при их помощи, то есть потребуется некоторый дополнительный инструмент.

Ромб можно построить 12 способами, по 4 для каждого варианта в общем случае. Причем в каждой четверке будет по две пары конгруэнтных различных в зеркальном отображении, опирающиеся на дуги `alpha` и `pi-alpha` с обеих сторон от прямой `AD`.
Поправка: для квадратов так же возможно 6 вариантов, для каждого выбора точек по 2 зеркальных конгруэнтных.

Общее решение варианта выбора точек 1-2+3-4

Вложение:
110518 7.png
110518 7.png [ 32.29 KIB | Просмотров: 591 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ромб 14
 Сообщение Добавлено: 11 май 2018, 16:42 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 161
Данный метод у меня получился когда я решал задачу о вписании квадрата в угол при заданной одной вершине.
Затем проверил метод при движении вершины по окружности, все заработало)

К сожалению аналитического доказательства метод не имеет. Поискав его в интернете, не нашел.

К примеру вот ГМТ для вершин квадрата касающегося прямой одной вершиной и неподвижно зафиксированного в второй. Таким образом квадрат можно вписать в к прямой и любой другой фигуре на плоскости:

Изображение

А вот ГМТ для вершин квадрата касающегося одной вершиной окружности и неподвижно зафиксированного в второй (нарыл свою с поэтапным построением ГМТ):
Изображение

Иллюстрация метода для заданных 2 окружностей (в общем виде возможно построить 6 различных квадратов в таких условиях):

Изображение


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ромб 14
 Сообщение Добавлено: 11 май 2018, 23:13 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4756
Откуда: Санкт-Петербург
[quote="Race"][/quote]
Я не ожидал такого объемного решения, с которым надо разбираться.
Предлагаю свою версию, которая скорее всего не обладает полнотой решения,но тем не менее претендует на решение.
Заметим, что в условии задачи есть ограничение: провести две пары параллельных линий.
Начнем сразу с ромба , т.к. квадрат есть частный случай ромба с равными углами.
Пусть требуется построить ромб с углом `alpha`.
Надеюсь, что задача построения равнобедренного треугольника по основанию и углу при вершине известна.
Тогда, выбирая в качестве основания для двух равнобедренных треугольнико два отрезка из предоставленных нам точек ,
строим эти треугольники. Далее, отражая их относительно прямой, проходящей через основания, получим два ромба.
Учитывая,что у ромба второй угол равен `180^o-alpha`получим второй вариант построения. Продолжая боковые
стороны равнобедренных треугольников получим пару параллельных прямых, пересечения котрых образуют ромбы.
Выбирая в качестве оснований равнобедренных треугольников различные отрезки, получим другие варианты построения.
Например:
Вложение:
237_1vf.jpg
237_1vf.jpg [ 37.45 KIB | Просмотров: 560 ]

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ромб 14
 Сообщение Добавлено: 12 май 2018, 09:11 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4756
Откуда: Санкт-Петербург
[quote="Race"]/quote]
Пусть АВ=m, ВС=p, CD=n, а секущая определяется `/_ GAD=varphi`.
Из вашего рисунка
Вложение:
11058_5.png
11058_5.png [ 38.17 KIB | Просмотров: 541 ]

`HC=(m+p)sin(varphi) qquad EC=p sin(varphi) qquad HE=HC-EC=m sin(varphi)`
`AG=(m+p+n)cos(varphi) qquad AH=(m+p)cos(varphi) qquad HG=AG-AH=n cos(varphi)`.
Отсюда `HE!=HG` при любом `varphi` и ,следовательно, EFGH -прямоугольник. И лишь при `tg(varphi)=n/m`
EFGH - квадрат.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ромб 14
 Сообщение Добавлено: 12 май 2018, 10:07 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 161
https://ibb.co/hMcWJy

Я очень извиняюсь, но выкладываю такие чертежные решения после многократной проверки. Вот геогебра, с точностью до 15 знака показывает что я прав.
Сейчас начерчу общее решение для ромба.

https://ibb.co/gFzjoy

Углы не видно, но небольшая погрешность в одном угле и стороне есть.

https://ru.files.fm/u/ry7u8jpa

Выложил сохранение из геогебры, метод работает.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ромб 14
 Сообщение Добавлено: 12 май 2018, 10:30 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 161
vyv2 писал(а):
`HC=(m+p)sin(varphi) qquad EC=p sin(varphi) qquad HE=HC-EC=m sin(varphi)`
`AG=(m+p+n)cos(varphi) qquad AH=(m+p)cos(varphi) qquad HG=AG-AH=n cos(varphi)`.
Отсюда `HE!=HG` при любом `varphi` и ,следовательно, EFGH -прямоугольник. И лишь при `tg(varphi)=n/m`
EFGH - квадрат.


`E'F'G'H'` всегда квадрат, но он двигается только по двум окружностям, точка `H'` по окружности `H` и точка `G'` по окружности `G`. Затем оранжевым цветом построены окружности ГМТ для движеня точек `D_H` и `D_G`, точки пересечения последних окружностей с `H` и `G` дадут нам две вершины образующие сторону искомого квадрата.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ромб 14
 Сообщение Добавлено: 12 май 2018, 11:41 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4756
Откуда: Санкт-Петербург
Race писал(а):
vyv2 писал(а):
`HC=(m+p)sin(varphi) qquad EC=p sin(varphi) qquad HE=HC-EC=m sin(varphi)`
`AG=(m+p+n)cos(varphi) qquad AH=(m+p)cos(varphi) qquad HG=AG-AH=n cos(varphi)`.
Отсюда `HE!=HG` при любом `varphi` и ,следовательно, EFGH -прямоугольник. И лишь при `tg(varphi)=n/m`
EFGH - квадрат.


`E'F'G'H'` всегда квадрат, но он двигается только по двум окружностям, точка `H'` по окружности `H` и точка `G'` по окружности `G`. Затем оранжевым цветом построены окружности ГМТ для движеня точек `D_H` и `D_G`, точки пересечения последних окружностей с `H` и `G` дадут нам две вершины образующие сторону искомого квадрата.

Что вам непонятно в моих приведенных формулах, которые получены из прямоугольных треугольников?
Почему у вас точка F''' находится на окружности G?
И обратите внимание, где находится точка E'''?

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ромб 14
 Сообщение Добавлено: 12 май 2018, 12:02 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 161
vyv2 писал(а):
Что вам непонятно в моих приведенных формулах, которые получены из прямоугольных треугольников?
Почему у вас точка F''' находится на окружности G?
И обратите внимание, где находится точка E'''?


Это опечатка, точка `F'''` находится на окружности `D_F` (синего цвета), на `G` находится точка `G'''` ошибочно названа точкой `F'''`.

Последовательность построения:
1. Строим ГМТ для всех вершин квадрата - это будут дуги окружностей опирающиеся на соответственные углы. Строим по 3 точкам - черные.
2. Строим секущую пересекающую две окружности. Принимаем отрезок ограниченный точками пересечения окружностей ( у нас `H'` пересечение окружности `H` и `G'`пересечения `G`. На `H'G'` как на стороне строим квадрат, получаем точки `F'` и `E'`.
3. Другие квадраты строить нет необходимости, так как наша секущая обращается в точку `A` и превращается в прямую `AD`, что и дает нам вторую и третью точку для построения окружностей ГМТ движения точек `F'` и `E'`. Траектория движения которых так же будут окружностями. Строим их по 3 точкам, получаем окружности `D_E` как ГМТ движения точки `E'` и `D_F` как ГМТ движения точки `F'.
4. Пересечения окружностей `D_E`с `E` и `D_F` с `F`, дадут нам 2 вершины квадрата.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 6 [ Сообщений: 54 ] На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.




Список форумов » Просмотр темы - Ромб 14


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 2

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: