Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Геометрия » Планиметрия от vyv2




 Страница 5 из 5 [ Сообщений: 50 ] На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Ромб 14
 Сообщение Добавлено: 15 май 2018, 09:41 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 111
Вечером перечерчу, с вводными все габариты ромба будут теми же самыми, по идее.

Пока нету доступа к геогебре (на работе) может мне начать с самого начала, так будет легче понять логику моего построения?

На плоскости задана прямая `b` и отрезок `AB` такой что точка `B` принадлежит `b`. Точка `B` свободно двигается по прямой `b` задача построить геометрическое место точек, которое может занимать точка `C` расположенная на середине отрезка `AB` (в целях экономии сообщений рисунки буду вставлять ссылками на файлообменник).

https://ibb.co/dQsAiy

При таких вводных понятно, что ГМТ точки `C` представляет собой прямую параллельную `b` так как `C'C''` является средней линией треугольника `AB'B''`.
На основании проведенного опыта можно сделать очень важный вывод:
Теорема №1На плоскости задана прямая `a` и отрезок `AC` такой что точка `A` принадлежит `a`, на отрезке выбрана произвольным образом точка `B` (между `A` и `C`. точка `B` неподвижна, а точка `A` свободно ходит по прямой `a` - траектория всех других точек принадлежащих отрезку `AC` при таком движении тоже будет прямой.
Дальше предлагаю практическое применение. В его роли предложу задачу которую придумал самостоятельно. Мысль о ней пришла ко мне после знакомства с ЕГЭшными задачами "на построение", которые требуют знания основных свойств ортоцентра и центра вписанной в треугольник окружности:
На плоскости задан угол `ABC` и лежащая между сторонами угла точка `D` построить некоторый отрезок `EF` расположенный таким образом что `E` принадлежит `AB`, `F` принадлежит `BC`, а прямая `BD` делит `EF`пополам, учитывая что вершина угла - точка `B` недоступна.
Учитывая теорему №1 построение элементарно:

https://ibb.co/dWopty

Для решения этой задачи представим точку `D` как точку пересечения медиан треугольника `BEF` тогда прямая `BD` пересечет `EF` точно по середине.
Построение:
1. Строим окружность с центром в точке `D` пересекающую отрезок `BC` в двух точках (синее построение). Из точек пересечения окружностью `BC` строим лучи проходящие через `D`. Из точек пересечения луча и окружности строим окружности тем же радиусом. Лучи пересекут их в некоторых точках `E'` и `E''`, прямая `E'E''` будет являться траекторией движения точки `E`. Строим ее, при пересечении отрезка `BA` находим нашу точку `E`.
Аналогично строим точку `F` (фиолетовое построение). Получили отрезок `EF` - задача решена.

Идем дальше, попробуем двигать закрепленную в точке `A` одной из вершин геометрическую фигуру, при условии что вторая вершина двигается по прямой. Наиболее просто это проделать с правильным треугольником, либо квадратом. Выполняем:

1. Равносторонний треугольник.
https://ibb.co/fjvxfd
Построение опять же элементарно:
1. Строим произвольный отрезок `AB_1` затем на нем правильный треугольник `AB_1C_1`, повторяем эту процедуру 2 раза, получаем 3 точки `C_1`,` C_2` и `C_3`, соединив их получаем прямую `c`.
Что интересно, равносторонний треугольник можно двигать по прямой двумя разными вершинами, прямые `b` и `c` можно построить следующим образом - строим правильный треугольник `ABC` (фиолетовый) таким образом что точки `B` и `C` принадлежат `b`, затем зеркально отражаем относительно прямой `b` точку `A` (либо на стороне `BC` строим равносторонний треугольник в другую от `A` сторону) получили точку `A'`, траекторией движения точки `C` будет прямая`A'B`, а точки `B` соответственно прямая `A'C`.
Подобный метод позволяет отлично анализировать и получать схему расположения ГМТ.

2. Квадрат.
1. Построение тривиально, сразу к рисунку:
https://ibb.co/j3XFYy
проведя построения мы снова видим линии ГМТ для движения свободных вершин.
Но квадрат можно двигать по прямой тремя различными вершинами, проведя анализ мы видим красивое расположение линий ГМТ относительно прямой и точки:
https://ibb.co/dOiHfd
видим что для построения схемы ГМТ свободных вершин достаточно нарисовать квадраты лежащие сторонами и диагональю на прямой. Всего при заданной точке `A` таких квадратов может быть 3. 2 лежат стороным (4 прямых ГМТ) и 1 диагональю (2 прямых ГМТ)
Практическое применение
Используя данный подход построения ГМТ можно вписать любой равносторонний треугольник либо квадрат к чему угодно (как минимум одной вершиной, так же проанализировать возможность либо невозможность вписания сразу 2 свободных вершин), при заданной вершине и известном наличии другой вершины на какой то прямой.

На основании полученной информации мы подошли к второй теореме:

Теорема №2Если на плоскости задана любая геометрическая фигура состоящая из прямых, одна точка которой неподвижна, а другая двигается по прямой, то все остальные точки этой фигуры будут двигаться по прямым в том случае, если при любом сдвиге фигура оставается подобной оригиналу.

Очень спорно и к сути построения отношения не имеет, можно не читать.
Подробности:
Так же интересно построение ГМТ для правильных и неправильных многоугольников. Строим аналогично равностороннему треугольнику и квадрату. Сначала касаемся сторонами `n-2`, затем диагоналями `n-3`, получаем к примеру для пятиугольника 3 лежащих на прямой сторонами 3*3 и 2 лежащих на прямой диагоналями 3*2 линий ГМТ, всего 15 линий ГМТ. Эмпирически можно принять эти формулы для `n`-угольника `(n-2)(n-2)+(n-3)(n-2)=(n-2)(n-2+n-3)=(n-2)(2n-5)`, но в виду сложности построения эту теорию я не проверял, голые домыслы. Но не лишенные определенной геометрической красоты.


После вписания квадрата и треугольника двигающихся одной вершиной по прямой и с закрепленной другой вершиной, я начал двигать вершину квадрата не по прямой, а по окружности. По возможности вычерчу все результаты. Схема ГМТ снова строилась на квадратах и была весьма красивой. И да, все другие точки квадрата, при сохранении подобия естественно, так же двигались по окружностям. На основании этих данных я и решал задачу....

Подробности:
http://alexlarin.com/viewtopic.php?p=208695#p208695
ссылка на пост в этой теме с рисунками ГМТ для квадрата двигающегося вершиной по прямой и по окружности.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ромб 14
 Сообщение Добавлено: 15 май 2018, 14:40 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4704
Откуда: Санкт-Петербург
[quote="Race"][/quote]
Спасибо за последнее сообщение. Оно объемное и требуется время , чтобы его разобрать. Я это сделаю.
Со своей стороны хотелось бы поделиться своими соображениями по поводу этой задачи. К вечеру постараюсь их изложить.
К сожалению они противоречат вашим результатом. Но вы не обижайтесь. Если убедите меня, что я неправ - буду только рад.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ромб 14
 Сообщение Добавлено: 15 май 2018, 14:59 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 111
vyv2 писал(а):
Спасибо за последнее сообщение. Оно объемное и требуется время , чтобы его разобрать. Я это сделаю.
Со своей стороны хотелось бы поделиться своими соображениями по поводу этой задачи. К вечеру постараюсь их изложить.
К сожалению они противоречат вашим результатом. Но вы не обижайтесь. Если убедите меня, что я неправ - буду только рад.

Отрицательный результат тоже результат.
Мне нравится решать задачки на построение, поищу другой способ)

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/34b51ab0-f818-4071-b6ef-c3f258efd2c0/KG_Apolo_article.html

с этой статьей Вы согласны?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ромб 14
 Сообщение Добавлено: 15 май 2018, 16:09 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4704
Откуда: Санкт-Петербург
Race писал(а):


Хорошая статья. Я хочу ее включить в раздел Геометрия -> Планиметрия от vyv2 -> Обзор подфорума "Тематические задачи по планиметрии" ( viewtopic.php?f=941&t=10920 ) -> Классические теоремы и задачи №14 (Задача Аполлония)
( viewtopic.php?f=941&t=15953)

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ромб 14
 Сообщение Добавлено: 15 май 2018, 20:42 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 111
vyv2 писал(а):
Хорошая статья. Я хочу ее включить в раздел Геометрия -> Планиметрия от vyv2 -> Обзор подфорума "Тематические задачи по планиметрии" ( viewtopic.php?f=941&t=10920 ) -> Классические теоремы и задачи №14 (Задача Аполлония)
( viewtopic.php?f=941&t=15953)


Мне особенно понравилось что все построение понятно школьнику. Есть моменты конечно которые доказать сложновато, но все в рамках школьной программы.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ромб 14
 Сообщение Добавлено: Вчера, 00:30 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4704
Откуда: Санкт-Петербург
vyv2 писал(а):
Для варианта с `tg(alpha)=3/4` ( https://ibb.co/c18qYy )прошу сообщить значение СН с большой точностью.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ромб 14
 Сообщение Добавлено: Вчера, 08:17 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 111
vyv2 писал(а):
Для варианта с `tg(alpha)=3/4` ( https://ibb.co/c18qYy )прошу сообщить значение СН с большой точностью.

Вечером будет.

https://ibb.co/hecoY8
Небольшая погрешность есть в 14-15 знаках, но на мой взгляд возможно это прилипание точек геогебры.

Сохранил в 300 дпи, даже углы видны... Но прикрепить не могу, файл большой. Если надо прикреплю сохранение геогебры.

Вложение:
210518 ромб.ggb [29.59 KIB]
Скачиваний: 3


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ромб 14
 Сообщение Добавлено: Вчера, 21:18 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4704
Откуда: Санкт-Петербург
Race писал(а):
vyv2 писал(а):
Для варианта с `tg(alpha)=3/4` ( https://ibb.co/c18qYy )прошу сообщить значение СН с большой точностью.

Вечером будет.

https://ibb.co/hecoY8
Небольшая погрешность есть в 14-15 знаках, но на мой взгляд возможно это прилипание точек геогебры.

Сохранил в 300 дпи, даже углы видны... Но прикрепить не могу, файл большой. Если надо прикреплю сохранение геогебры.

Вложение:
210518 ромб.ggb

Так и не получил СН не в ЛС , не в файле ggb (у меня не читается). Нельзя получить информацию в pdf или в другом формате, которые ранее были использованы вами?
Формат чисел неудобен - слишком мелкий. Мне не отличить 5 от 6.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ромб 14
 Сообщение Добавлено: Вчера, 21:36 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 111
vyv2 писал(а):

Вложение:
Вложение 210518 ромб.ggb больше недоступно.

Так и не получил СН не в ЛС , не в файле ggb (у меня не читается). Нельзя получить информацию в pdf или в другом формате, которые ранее были использованы вами?
Формат чисел неудобен - слишком мелкий. Мне не отличить 5 от 6.[/quote]

CH на рисунке 3,25395686727986

Вложение:
210518.png
210518.png [ 572.58 KIB | Просмотров: 31 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Ромб 14
 Сообщение Добавлено: Сегодня, 01:37 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4704
Откуда: Санкт-Петербург
Спасибо за предоставленные результаты. Вы меня убедили, что ваше построение абсолютно верно.
Меня смущало то, что вы начинали построение ромба при заданном `m, p, n, beta` при произвольном угле наклона `E_1F_1` к AD ( в последнем варианте, который и анализировал, этот угол был принят за `90^o`), а заканчивали переводом его ромб с конкретным углом наклона `EF` к AD, который я принял за `alpha`, а `beta` - это угол ромба. На последнем рисунке вы начали обозначать угол ромба через `alpha`(может возникнуть путаница).
Смущало это, потому что, что угол ромба `beta`однозначно связан c углом наклона `EF` к AD, который я принял за `alpha`, зависимостью
`alpha=arctg(sin beta /(m/n-cos beta))`. При этом сторона ромба `a=m*sin alpha/sin beta`.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 5 из 5 [ Сообщений: 50 ] На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5




Список форумов » Просмотр темы - Ромб 14


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: Alexa [Bot] и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: