Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Геометрия » Планиметрия от vyv2




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 22_1
 Сообщение Добавлено: 23 май 2018, 00:00 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4894
Откуда: Санкт-Петербург
Вокруг треугольника АВС описана окружность `C_1` и вписана окружность с центром I. F - центр вневписанной окружности треугольника АВС относительно стороны ВС. IE пересекает окружность `C_1` в точке G. H - средняя точка дуги AG. HI пересекает окружность `C_1` в точке М, а НЕ - в точке N. Доказать, что точки M, F, N лежат на одной прямой.
Вложение:
320.png
320.png [ 32.96 KIB | Просмотров: 334 ]

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 22_1
 Сообщение Добавлено: 23 май 2018, 15:13 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 233
1. `/_HMN={breve{HN}}/2`, `/_HEI={breve{AH}-breve{NG}}/2={(breve{HN}+breve{NG})-breve{NG}}/2={breve{HN}}/2=/_HMN`
2. `/_HMN=/_IEH` и `/_IFM=/_MFE=>triangleMIFsimtriangleF'NE=>IF'*F'E=MF'*FN`. Четырехугольник `INEM` вписанный.
3. Пусть `/_BAC=2alpha`. `/_ABC=2beta` и `/_BCA=2gamma` тогда `/_AFC=pi-(/_FAC+/_FCA)=pi-(alpha+2gamma)`, `/_AFB==pi-(/_FAB+/_FBA)=pi-(alpha+2beta)`, `/_BIF=pi-(/_IBF+AFB)=pi-(beta+pi-(alpha+2beta))=alpha+beta`, `/_FBE={pi-/_ABC}/2=pi/2-beta`, `/_BEF=pi-(/_FBE+/_AFC)=pi-(pi/2-beta+pi-(alpha+2gamma))=alpha+beta+2gamma-pi/2=gamma=/_BIC` аналогично доказываем что `/_FEC=/_IBC=beta=>triangleIBFsimtriangleFEC=>IF*FE=BF*FC. `Четырехугольник `IBEC` вписанный.
4. `triangleFMCsimtriangleBFN=>NF*FM=BF*FC=IF'*F'E=IF*FE`
5. Окружности `INEM` и `IBEC` пересекаются в двух точках `I` и `E`, но прямой `IE` принадлежит так же и точка `A=> AI*AE=AK^2=>IF'*F'E=IF*FE`.
По здравым размышлениям, не знаю достаточно ли этого....


Подробности:
Очень полезная задача в плане обучения. Она убедительно показывает преимущество расчета углов через дуги на которые опираются вписанные углы, перед аналогичным расчетом через заименование углов треугольника. С дугами - 1 строчка, с углами смотрите сами:
1. Пусть `/_BAC=4alpha`, `/_ACB=2gamma`
2. `/_BCG=2apha=>/_ACG=/_BCG+/_ACB=2(alpha+gamma)=>/_AHG=pi-/_ACG=pi-2(alpha+gamma)=>/_HAG=/_HGA={pi-/_AHG}/2=alpha+gamma =>/_HGE=pi-/_HGA=pi-alpha+gamma`.
3. Четырехугольник `AHNG` вписанный `=>/_HNG=pi-/_HAG=pi-2(alpha+gamma)=>/_HNG=/_HGE`.
4. `/_GNE=pi-/_HNG=2(alpha+gamma)=>/_GNE=/_HAG=/_HGA`.
5. `triangleAHE sim triangle NEG` по двум углам, а именно `/_HEA` - общий и `/_GNE=/_HAG=>/_AHE=/_NGE`.
6. `triangle HNG sim triangle HGE` по двум углам, а именно `/_GHE` -общий и `/_HNG=/_HGE=>/_HGN=/_HEA`.

В задачах на принадлежность точки некоторой прямой, я честно говоря, плаваю. Надеюсь профессионалы предложат более изящное, компактное и понятное решение.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: