Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Геометрия » Планиметрия от vyv2




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_2
 Сообщение Добавлено: 12 ноя 2017, 21:37 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4696
Откуда: Санкт-Петербург
В треугольник АВС вписана окружность с центром I и построены вневписанные окружности с центрами `E_1, E_2, E_3`. Пусть D, E, F, G, H, M - точки касания вневписанных окружностей с продолжением сторон треугольника АВС. Доказать, что, `S_1=S_2=S_3= S_4=S_5=S_6=S/2`, где `S, S_1, S_2, S_3, S_4, S_5, S_6`- площади треугольников ABC, ICD, ICE, IAF, IAG, IBH, IBM соответственно.
Вложение:
114.jpg
114.jpg [ 42.88 KIB | Просмотров: 358 ]

Подобная задача Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_1 viewtopic.php?f=941&t=15459

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_2
 Сообщение Добавлено: 16 май 2018, 12:25 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 99
`CD=EC={AB+BC+CA}/2=BM=BH=AF=AG=x`
`S=pr={AB+BC+CA}/2r`
`S_1=S_2=S_3=S_4=S_5=S_6=x/2r={AB+BC+CA}/4r=S/2

Подробности:
Подобные задачи про вневписанные окружности легко решать через периметр.
1. `AF=AG` как касательные из точки `A` к окружности `w_1(E_1;E_1F).
2. Пусть точка касания окружности `w_1` к `CB` - `P`, тогда `PB=BF` и `PC=CG` как касательные к окружности `w_1` из точек `B` и `C` соответственно.
3. `AF=AB+PB=AG=AC+PC=x` но так как `BP+PC=BC` то `AF+AG=AB+AC+(PB+PC)=AB+BC+CA=2x => x={AB+BC+CA}/2`
Аналогично доказываем для других касательных.
4. Затем расписываем площадь треугольника `ABC` через радиус вписанной.
5. Учитывая что радиус вписанной будет общей высотой для треугольников `ICD, ICE, IAF, IAG, IBH, IBM`, а так же то что основания у них равны, как мы доказали ранее, получаем требуемое доказательство


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: