Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Геометрия » Планиметрия от vyv2




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Правильный треугольник 24
 Сообщение Добавлено: 07 фев 2018, 22:30 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4892
Откуда: Санкт-Петербург
Равносторонние треугольники АВС и BDE c центром О такие, что A, B, D- колинеарны (находятся на одной прямой). Доказать, что треугольник CFO - треугольник с углами `30-90-60^o`, если F - середина АЕ.
Вложение:
956.jpg
956.jpg [ 49.17 KIB | Просмотров: 852 ]

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Правильный треугольник 24
 Сообщение Добавлено: 26 июл 2018, 02:46 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 858
Откуда: Москва
1. `vec{BA}=vec{a}`, `vec{BC}=vec{b}`, `|vec{a}|=|vec{b}|`, `hat{vec{a}vec{b}}=60^\circ`.
Треугольники `BED` и `ABC` подобны, поэтому `vec{BE}=-k vec{b}`, `vec{BD}=-k vec{a}`.
Тогда `vec{BF}=1/2(vec{a}-k vec{b})`, `vec{OB}=1/3k(vec{a}+vec{b})` и `vec{OF}=(1/3k+1/2)vec{a}-1/6k vec{b}`.
`vec{CF}=1/2(vec{CA}+vec{CE})=1/2vec{a}-(k+2)/2vec{b}`
`vec{OF}\cdotvec{CF}=0`, следовательно, `angle CFO=90^\circ`.

2. `FH\parallel CE`, значит, `angle AHF=angle ACE=60^\circ`.
Тогда `angle FHO=angle FCO=30^\circ` и `angle COF=60^\circ`.
Вложение:
рис..png
рис..png [ 44.56 KIB | Просмотров: 431 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Правильный треугольник 24
 Сообщение Добавлено: 27 июл 2018, 10:43 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 233
Можно в лоб, через прямую и обратную т-мы Пифагора.
Пусть `AB=k`, a `BD=1` тогда:
`h_{triangleABC}=sqrt3/2k`, `h_{triangleEDB}=sqrt3/2`.
`FC=sqrt{3/16(k+1)^2+(k/2+(k+1)/4)^2}=1/4sqrt{3k^2+6k+3+9k^2+6k+1}=1/4sqrt{12k^2+12k+4}=sqrt{1/4(3k^2+3k+1)}`;
`CO=sqrt{(sqrt3/2(k+1)-sqrt3/6)^2+k^2/4}=sqrt{1/36(27k^2+36k+12+9k^2)}=sqrt{1/3(3k^2+3k+1)}`;
`FO=sqrt{1/16(k+1)^2+(sqrt3/4(k+1)-sqrt3/6)^2}=sqrt{1/16(k^2+2k+1)+1/144(27k^2+18k+3)}=sqrt{1/144(9k^2+18k+9+27k^2+18k+3)}=sqrt{1/144(36k^2+36k+12)}=sqrt{1/12(3k^2+3k+1)}`;
Применим обратную теорему Пифагора:
`FO^2+FC^2=1/12(3k^2+3k+1)+1/4(3k^2+3k+1)=1/12(3k^2+3k+1+9k^2+9k+3)=1/12(12k^2+12k+4)=1/3(3k^2+3k+1)=CO^2=>triangleCFO` прямоугольный с гипотенузой `CO` и катетами `OF` и `FC`, а так как `CO=2OF=>/_FCO=pi/6=>/_FOC=pi/2-pi/6=pi/3` чдт.


Последний раз редактировалось Race 27 июл 2018, 11:55, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Правильный треугольник 24
 Сообщение Добавлено: 27 июл 2018, 10:46 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 233
Kirill Kolokolcev писал(а):
`vec{OF}\cdotvec{CF}=0`

Заранее извиняюсь за дилетантский вопрос, но почему? Точнее каким образом это следует из Вашего решения?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Правильный треугольник 24
 Сообщение Добавлено: 27 июл 2018, 13:40 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5700
Откуда: Москва
Race писал(а):
Kirill Kolokolcev писал(а):
`vec{OF}\cdotvec{CF}=0`

Заранее извиняюсь за дилетантский вопрос, но почему? Точнее каким образом это следует из Вашего решения?

1. `vec{OF}\cdotvec{CF}=1/(12)((2k+3)vec{a}-k vec{b})(vec{a}-(k+2)vec{b})=1/(12)((2k+3)(vec{a})^2+k(k+2)(vec{a})^2-((k+2)(2k+3)+k)vec{a}*vec{b})=`

`=a^2/(12)(2k+3+k^2+2k-(k^2+4k+3) )=0.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Правильный треугольник 24
 Сообщение Добавлено: 27 июл 2018, 13:42 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 233
Спасибо!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Правильный треугольник 24
 Сообщение Добавлено: 28 июл 2018, 16:16 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5700
Откуда: Москва
Подробности:
Вложение:
Правильный треугольник 24.pdf [29.01 KIB]
Скачиваний: 51

2. Без векторов и теоремы Пифагора.

а) `AC=12a, quad ED=12ka, quad MK=KN=(MN)/2=3sqrt3(k+1)a, quad, quad FG=(AC+ED)/2=6(k+1)a,`

` quad FK=(FG)/2=6(k+1)a, quad KO=MK-MO=sqrt3(k+3)a, quad KP=KN*(FG)/(FG+AC)=(3sqrt3(k+1)^2a)/(k+3).`

б) `(KO)/(FK)=(KF)/(KP) quad => quad DeltaFKO sim DeltaPKF, quad /_CFO=/_PFO=/_PFK+/_KFO=/_PFK+/_KPF=90^@.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Правильный треугольник 24
 Сообщение Добавлено: 28 июл 2018, 21:14 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5700
Откуда: Москва
Подробности:
Вложение:
Правильный треугольник 24 2.pdf [28.22 KIB]
Скачиваний: 32

3. Геометрическое решение:

а) `G=DE cap CF, quad DeltaEFG = DeltaAFC, quad GF=FC, quad GE=AC.`

б) `{(GE=AC=BC),(EO=OB),(/_GEO=120^@=/_CBO):} quad => quad DeltaGEO = DeltaCBO, quad GO=OC, quad /_EOG=/_BOC.`

в) `{(GO=OC),(GF=FC):} quad => quad /_CFO=90^@, quad /_FOC=(/_GOC)/2=(/_EOB-/_EOG+/_BOC)/2=(/_EOB)/2=(120^@)/2=60^@`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: