Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37 Сообщений: 4974 Откуда: Санкт-Петербург
В треугольнике АВС площадью S построены вневписанные окружности с центрами P, Q, R. Пусть D, E, F, G, H, M - точки касания вневписанных окружностей с продолжением сторон треугольника АВС. Доказать, что, `S_1=S_2=S_3= S_4=S_5=S_6=S/2`, где `S, S_1, S_2, S_3, S_4, S_5, S_6`- площади треугольников AMR, BFR, BEP, CHP, CGQ, ADQ соответственно.
I. `r_a=S/{p-a}`, где `r_a` - радиус вневписанной окружности касающейся стороны `a`, `S` - площадь треугольника `ABC`, `p` - полупериметр треугольника `ABC`. II. `AF=BM=p => FB+BA=BA+AM => FB=AM`.
Приступим: 1. Пусть `r_{AB}` - радиус вневписанной окружности касающейся стороны `AB` тогда: `S_1=1/2*MA*r_{AB}=S_2=1/2*BF*r_{AB}`, как следствие II. 2. Так же как и в задачах про вписанную окружность стороны `ABC` удобно расписать через касательные к вневписанным проведенные из вершин `ABC`, только расположены они будут иначе, а именно:
Вложение:
170518.png [ 27.84 KIB | Просмотров: 1584 ]
`BC=x+y`, `CA=z+x`, `AB=y+z` соответственно `p={AB+BC+CA}/2=x+y+z` 3. Подставив (I) и (2) в (1) получим: `S_1=1/2*MA*r_{AB}=1/2*{MA*S}/{p-AB}=1/2*{x*S}/{x+y+z-(y+z)}=1/2*S`. 4. Аналогично расписав площади для `BFR, BEP, CHP, CGQ, ADQ` получим `S_1=S_2=S_3=S_4=S_5=S_6=S/2`.
Для учащихся:
Подробности:
Тем кто будет производить построение вневписанных окружностей к треугольнику `ABC` следует помнить, что можно избежать возни с биссектрисами внешних углов, а именно - строим произвольный остроугольный треугольник `EFG`, затем его ортотреугольник `ABC`, вершины `EFG` будут центрами вневписанных окружностей треугольника `ABC`, а ортоцентр `EFG` будет центром вписанной окружности треугольника `ABC`.
Вложение:
170518 1.png [ 36.47 KIB | Просмотров: 1581 ]
OlG
Заголовок сообщения: Re: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_3
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6791 Откуда: Москва
Подробности:
vyv2 писал(а):
В треугольнике АВС площадью S построены вневписанные окружности с центрами P, Q, R. Пусть D, E, F, G, H, M - точки касания вневписанных окружностей с продолжением сторон треугольника АВС. Доказать, что, `S_1=S_2=S_3= S_4=S_5=S_6=S/2`, где `S, S_1, S_2, S_3, S_4, S_5, S_6`- площади треугольников AMR, BFR, BEP, CHP, CGQ, ADQ соответственно.
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения