Математика. Подготовка к ЕГЭ. Решение задач.
http://alexlarin.com/

Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_3
http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=941&t=15955
Страница 1 из 1

Автор:  vyv2 [ 16 май 2018, 15:48 ]
Заголовок сообщения:  Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_3

В треугольнике АВС площадью S построены вневписанные окружности с центрами P, Q, R. Пусть D, E, F, G, H, M - точки касания вневписанных окружностей с продолжением сторон треугольника АВС. Доказать, что, `S_1=S_2=S_3= S_4=S_5=S_6=S/2`, где `S, S_1, S_2, S_3, S_4, S_5, S_6`- площади треугольников AMR, BFR, BEP, CHP, CGQ, ADQ соответственно.
Вложение:
115.png
115.png [ 27.75 KIB | Просмотров: 534 ]

Подобные задачи:
Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_1 viewtopic.php?f=941&t=15459
Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_2 viewtopic.php?f=941&t=15461

Автор:  Race [ 17 май 2018, 09:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_3

Для решения данной задачи потребуется следующее:

I. `r_a=S/{p-a}`, где `r_a` - радиус вневписанной окружности касающейся стороны `a`, `S` - площадь треугольника `ABC`, `p` - полупериметр треугольника `ABC`.
II. `AF=BM=p => FB+BA=BA+AM => FB=AM`.

Приступим:
1. Пусть `r_{AB}` - радиус вневписанной окружности касающейся стороны `AB` тогда:
`S_1=1/2*MA*r_{AB}=S_2=1/2*BF*r_{AB}`, как следствие II.
2. Так же как и в задачах про вписанную окружность стороны `ABC` удобно расписать через касательные к вневписанным проведенные из вершин `ABC`, только расположены они будут иначе, а именно:
Вложение:
170518.png
170518.png [ 27.84 KIB | Просмотров: 498 ]

`BC=x+y`, `CA=z+x`, `AB=y+z` соответственно `p={AB+BC+CA}/2=x+y+z`
3. Подставив (I) и (2) в (1) получим:
`S_1=1/2*MA*r_{AB}=1/2*{MA*S}/{p-AB}=1/2*{x*S}/{x+y+z-(y+z)}=1/2*S`.
4. Аналогично расписав площади для `BFR, BEP, CHP, CGQ, ADQ` получим `S_1=S_2=S_3=S_4=S_5=S_6=S/2`.

Для учащихся:
Подробности:
Тем кто будет производить построение вневписанных окружностей к треугольнику `ABC` следует помнить, что можно избежать возни с биссектрисами внешних углов, а именно - строим произвольный остроугольный треугольник `EFG`, затем его ортотреугольник `ABC`, вершины `EFG` будут центрами вневписанных окружностей треугольника `ABC`, а ортоцентр `EFG` будет центром вписанной окружности треугольника `ABC`.
Вложение:
170518 1.png
170518 1.png [ 36.47 KIB | Просмотров: 495 ]

Автор:  OlG [ 16 июл 2018, 18:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_3

Подробности:
vyv2 писал(а):
В треугольнике АВС площадью S построены вневписанные окружности с центрами P, Q, R. Пусть D, E, F, G, H, M - точки касания вневписанных окружностей с продолжением сторон треугольника АВС. Доказать, что, `S_1=S_2=S_3= S_4=S_5=S_6=S/2`, где `S, S_1, S_2, S_3, S_4, S_5, S_6`- площади треугольников AMR, BFR, BEP, CHP, CGQ, ADQ соответственно.
Изображение
Подобные задачи:
Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_1 viewtopic.php?f=941&t=15459
Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_2 viewtopic.php?f=941&t=15461

1. `{(S_(1)=S_(2)=1/2*r_(R)*(p_(ABC)-c)=1/2*(S_(ABC))/(p_(ABC)-c)*(p_(ABC)-c)=(S_(ABC))/2),(S_(3)=S_(4)=1/2*r_(P)*(p_(ABC)-a)=1/2*(S_(ABC))/(p_(ABC)-a)*(p_(ABC)-a)=(S_(ABC))/2),(S_(5)=S_(6)=1/2*r_(Q)*(p_(ABC)-b)=1/2*(S_(ABC))/(p_(ABC)-b)*(p_(ABC)-b)=(S_(ABC))/2):} quad.`

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/