Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Геометрия » Планиметрия от vyv2




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_4
 Сообщение Добавлено: 17 май 2018, 11:12 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4917
Откуда: Санкт-Петербург
В треугольнике АВС площадью S построены вневписанные окружности с центрами P, Q. Пусть D, E - точки касания вневписанных окружностей с продолжением сторон треугольника АВС. РЕ и DQ пересекаются в точке F, ВЕ и DQ пересекаются в точке H, PE и BD пересекаются в точке G.
Доказать, что, `S_1+S_2=S_3+ S_4`, где `S_1, S_2, S_3, S_4,`- площади треугольников BPQ, EFH, DFG, BHQ соответственно.
Вложение:
116.png
116.png [ 13.78 KIB | Просмотров: 310 ]
Вложение:
Вложение 115.png больше недоступно.

Подобные задачи:
Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_1 viewtopic.php?f=941&t=15459
Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_2 viewtopic.php?f=941&t=15461
Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_3 viewtopic.php?f=941&t=15955

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_4
 Сообщение Добавлено: 17 май 2018, 12:01 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 233
1. Распишем стороны нашего треугольника `ABC` через касательные к вневписанным из вершин:
Вложение:
170518.png
170518.png [ 27.84 KIB | Просмотров: 298 ]

`AB=y+z`, `BE=x` и `BC=x+y`, `DB=z`, тогда полупериметр `p=x+y+z`.
2. `r_{BC}=S/{p-BC}=S/z`, `r_{AB}=S/{p-AB}=S/x`.
3. `PB=sqrt{r_{AB}^2+BD^2}=sqrt{{S^2}/{x^2}+z^2}={sqrt{S^2+x^2*z^2}}/{x}` ,` BQ=sqrt{r_{BC}^2+BE^2}=sqrt{{S^2}/{z^2}+x^2}={sqrt{S^2+x^2*z^2}}/ z`.
4. Пусть `/_PBE=/_DBQ=alpha=/_ABC+(90-{/_ABC}/2)` тогда `S_{PBE}=1/2*PB*BE*sinalpha=1/2*{sqrt{S^2+x^2*z^2}}/{x}*x*sinalpha=1/2sqrt{S^2+x^2*z^2}*sinalpha` но так как и `S_{DBQ}=1/2*DB*BQ*sinalpha=1/2*z*{sqrt{S^2+x^2*z^2}}/ z*sinalpha=1/2sqrt{S^2+x^2*z^2}*sinalpha =>S_{PBE}=S_{DBQ}`.
5. Так как `S_{PBE}=S_{DBQ}=S_1+S_2+S_{GFHB}=S_3+S_4+S_{GFHB} =>S_1+S_2=S_3+S_4`

Подробности:
Задачи сразу решать, или подождать пару недель?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_4
 Сообщение Добавлено: 16 июл 2018, 17:35 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5745
Откуда: Москва
Подробности:
vyv2 писал(а):
В треугольнике АВС площадью S построены вневписанные окружности с центрами P, Q. Пусть D, E - точки касания вневписанных окружностей с продолжением сторон треугольника АВС. РЕ и DQ пересекаются в точке F, ВЕ и DQ пересекаются в точке H, PE и BD пересекаются в точке G.
Доказать, что, `S_1+S_2=S_3+ S_4`, где `S_1, S_2, S_3, S_4,`- площади треугольников BPQ, EFH, DFG, BHQ соответственно.
Изображение
Подобные задачи:
Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_1 viewtopic.php?f=941&t=15459
Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_2 viewtopic.php?f=941&t=15461
Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_3 viewtopic.php?f=941&t=15955

1. `{(S_(PBE)=1/2*r_(P)*BE=1/2*(S_(ABC))/(p_(ABC)-c)*(p_(ABC)-c)=(S_(ABC))/2),(S_(QBD)=1/2*r_(Q)*BD=1/2*(S_(ABC))/(p_(ABC)-a)*(p_(ABC)-a)=(S_(ABC))/2):} quad => quad S_(1)+S_(2)+S_(BGFE)=S_(PBE)=(S_(ABC))/2=S_(QBD)=S_(3)+S_(4)+S_(BGFE), quadS_(1)+S_(2)=S_(3)+S_(4).`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: