Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Геометрия » Планиметрия от vyv2




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_6
 Сообщение Добавлено: 18 май 2018, 10:39 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4861
Откуда: Санкт-Петербург
В треугольник АВС вписана окружность с центром I и вневписанная окружность с центрами Е. Пусть D и F - точки касания вписанной окружности с треугольником АВС. ED и BC пересекаются в точке G, а EF и BC пересекаются в точке H.
Доказать, что, `S_1+S_2=S_3`, где `S_1, S_2, S_3`- площади треугольников BDG,CFH, EGH соответственно.
Вложение:
118.jpg
118.jpg [ 21.66 KIB | Просмотров: 327 ]

Подобные задачи:
Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_1 viewtopic.php?f=941&t=15459
Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_2 viewtopic.php?f=941&t=15461
Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_3 viewtopic.php?f=941&t=15955
Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_4 viewtopic.php?f=941&t=15960
Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_5 viewtopic.php?f=941&t=15964

_________________
Сопротивление бесполезно.


Последний раз редактировалось vyv2 18 май 2018, 13:21, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_6
 Сообщение Добавлено: 18 май 2018, 12:39 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 229
Спасибо, за интересные задачи.
1. Пусть `M` и `N` точки касания вневписанной окружности `w_1(E;EM)` к продолжению сторон `AB` и `AC` соответственно, `p` - полупериметр треугольника `ABC`, `r_a` -радиус вневписанной окружности `w_1(E;EM)`, `BC=a`, `S` - площадь `ABC`.
2. `S_{AME}=1/2p*r_a=S_{AEN}=>S_{AMEN}=p*r_a=pS/{p-a}`.
3. Учитывая что `AD=AF=x` и `p-x=a` идем дальше `S_{DME}=1/2(p-x)r_a=1/2aS/{p-a}=S_{FEN}`.
4. `S_{ADEF}=S_{AMEN}-2S_{DME}=pS/(p-a)-aS/{p-a}=S{p-a}/{p-a}=S` но так как `S_{ADEF}=S_{ABC}-S_1-S_2+S_3 <=> S=S-S_1-S_2+S_3 =>S_3=S_1+S_2`.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_6
 Сообщение Добавлено: 16 июл 2018, 16:42 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5641
Откуда: Москва
Подробности:
vyv2 писал(а):
В треугольник АВС вписана окружность с центром I и вневписанная окружность с центрами Е. Пусть D и F - точки касания вписанной окружности с треугольником АВС. ED и BC пересекаются в точке G, а EF и BC пересекаются в точке H.
Доказать, что, `S_1+S_2=S_3`, где `S_1, S_2, S_3`- площади треугольников BDG,CFH, EGH соответственно.
Изображение
Подобные задачи:
Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_1 viewtopic.php?f=941&t=15459
Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_2 viewtopic.php?f=941&t=15461
Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_3 viewtopic.php?f=941&t=15955
Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_4 viewtopic.php?f=941&t=15960
Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 15_5 viewtopic.php?f=941&t=15964

1. `S_(3)+S_(ADGHF)=S_(ADEF)=2S_(ADE)=2S_(ADI)+2S_(EDI)=2S_(ADI)+2r/(r+r_(a))S_(DIEM)=r(p-a)+2r/(r+r_(a))(r+r_(a))/2a=`

`=rp=S_(ABC)=S_(1)+S_(2)+S_(ADGHF) quad => quad S_(1)+S_(2)=S_(3).`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: