Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Геометрия » Планиметрия от vyv2




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Многоугольник 20_2
 Сообщение Добавлено: 18 май 2018, 11:05 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4865
Откуда: Санкт-Петербург
В трех равных окружностях А, В, С `A A_1,quad C C_1`- касателные к окружности В, `A A_2, quadB B_1`- касателные к окружности C, `B B_2, quadC C_2`- касателные к окружности A, Точки D, E, F, G, H, M - точки пересечения касательных `A A_1quad c quad B B_2,quad A A_1quad c quad C C_1, quadB B_1quad c quad C C_1, quadB B_1quad c quad A A_2,quad C C_2quad c quad A A_2, quad C C_2quad c quad B B_2` соответственно. Доказать, что s=DM+EF+GH=DE+FG+HM, если s- полупериметр шестиугольника DEFGHM.
Вложение:
346.png
346.png [ 31.54 KIB | Просмотров: 291 ]

Похожая задача : Многоугольник 20_1 viewtopic.php?f=941&t=15965

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Многоугольник 20_2
 Сообщение Добавлено: 18 май 2018, 14:59 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 229
Вложение:
180518 1.png
180518 1.png [ 28.44 KIB | Просмотров: 248 ]

1. Из центров окружностей `A`, `B` и `C` проведем вторые пары (назовем их внешними) касательных к двум оставшимся. При пересечении внешних касательных мы получим шестиугольник `AMBNCP` рассмотренный в прошлой задаче. Уже без доказательства (см. viewtopic.php?f=941&t=15965) принимаем: `AM=MB`, `BN=NC` и `CP=PA`.
2. Рассмотрим четырехугольник `A A_2C C_2'` - так как `A A_2=C C_2'` как касательные к окружностям одного радиуса, исходящие из точек отстоящих от центров окружностей на одинаковое расстояние, а так же то что `AC_2'=CA_2=R` получаем что `A A_2C C_2'` параллелограмм, а так как `/_AC_2'C=/_CA_2A=pi/2` то `A A_2C C_2'` прямоугольник `=>HG parallel PC`. Аналогично рассматривая другие пары окружностей и касательных получаем:
`HG parallel PC`, `GF parallel CN`, `FE parallel NB`, `ED parallel BM`, `DM parallel MA`, `MH parallel AP`. Так же расстояние между каждой парой параллельных прямых равняется радиусу окружностей.
3. Так как `MC_2=MB_2` как касательные к окружности `A` из точки `M` то `AM` биссектриса `/_DMN` так как `AM parallel MD` и `PA parallel HM` то `AM` биссектрисы `/_MAP`.
4.
Вложение:
180518 2.png
180518 2.png [ 29.91 KIB | Просмотров: 248 ]

Опустим из точки `M` перпендикуляры на прямые `AM` и `AP`, пусть они пересекут их в точках `G` и `J` соответственно. `triangle AGM sim triangle MJA` по двум углам, а именно `/_MGA=/_AJM=pi/2` и `/_GMA=/_AMJ` но так как у `triangle AGM` и `triangle MJA` общая сторона `AM` то они конгруэнтны `=>AG=JA=x`
5. Расписав аналогичным образом все остальные стороны `AMBNCP` получим:
`MD=AM-x-y`, `DE=MB-y-z`, `EF=BN-z-v`, `FG=NC-v-w`, `GH=CP-w-m`, `HM=PA-m-x `.
6. Так как `AM=MB=a`, `BN=NC=b` и `CP=PA=c` имеем `MD=a-x-y`, `DE=a-y-z`, `EF=b-z-v`, `FG=b-v-w`, `GH=c-w-m`, `HM=c-m-x`
`p={MD+DE+EF+FG+GH+HM}/2=a+b+c-x-y-z-v-w-m`
`MD+EF+GH=a-x-y+b-z-v+c-w-m=p=DE+FG+HM` чдт.

Подробности:
Вышла небольшая путаница с вершиной М. Но вроде все понятно....


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: