Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Геометрия » Планиметрия от vyv2




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 16
 Сообщение Добавлено: 21 май 2018, 00:59 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4885
Откуда: Санкт-Петербург
В треугольник АВС вписана окружность I. DE, FG, HM - касательные к окружности I , параллельне АС, АВ, ВС соответтвенно. `O, O_1, O_2, O_3` - центры описанных окружностей вокруг треугольников ABC, AHM, BDE, CFG. `I_1, I_2, I_3` - центры вписанных окружностей в треуольники AHM, BDE, CFG соответственно. Доказать, что `d, quad d_1, qquad d_2, qquad d_3` параллельн, 2) `d=d_1+d_2+d_3`, где ` qquad d=OI , qquad d_1=O_1 I_1 ,qquad d_2=O_2 I_2, qquad d_3=O_3 I_3`.
Вложение:
145.png
145.png [ 25.26 KIB | Просмотров: 495 ]

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 16
 Сообщение Добавлено: 21 май 2018, 08:39 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 233
Пункт 1.
Доказательство 1, через гомотетию: `triangle ABC~triangle DBE` причем они гомотетичны с центром гомотетии в точке `C`. Причем при такой гомотетии стороны треугольников паралелльны, а это значит что гомотетичны как вписанные так и описанные окружности `=> OI parallel O_2I_2`.
Доказательство 2, через подобие треугольников:
1. Так как `BI` биссектриса `/_ABC` то точки `I`, `I_2` и `B` находятся на одной прямой.
2. Так как `AC parallel DE` то`triangle ABC sim triangle DBE` по трем углам. Соответственно: `{IB}/{I_2B}={AB}/{DB}={1/2AB}/{1/2DB}={OB}/{O_2B} => triangle N_{AB}BO sim triangle N_{DB}BO_2` по трем сторонам (если `N` точка делящая стороны треугольника на две равные части) с коэфициентом подобия `k => triangle OBI sim triangle O_2BI_2 => OI parallel O_2I_2`.

Пункт 2.

`d/d_1={AC}/{AH} => d_1=d{AH}/{AC} => d_1+d_2+d_3=d{AH+DE+GC}/{AC}`
нарисуем шестиугольник `HMDEFG`:
Вложение:
210518 2.png
210518 2.png [ 18.3 KIB | Просмотров: 461 ]


Пусть `Q_i`где `i=1....6` точки касания вписанной окружности к сторонам шестиугольника `HMDEFG`. Распишем стороны нашего шестиугольника на `x`, `y`, `z`, `v`, `w`, `q` из равенства касательных.
Рассмотрим 2 четырех угольника `Q_1DQ_2I` и `IQ_4GQ_5` так как `/_Q_1IQ_2=/_Q_4IQ_5` как общий, а все `/_Q_i=pi/2 => /_Q_1DQ_2=/_Q_4GQ_5`учитывая что все стороны `IQ_i=r => ` что `Q_1DQ_2I` и `IQ_4GQ_5`конгруэнтны и соответственно `z=q` аналогично доказываем что `x=v => x+q=z+v=DE=HG =>AH+DE+GC=AH+HG+GC=AC => d_1+d_2+d_3=d` чдт.

Подробности:
Спасибо за задачи. За эту особенно. Помучался))) Исписал пару листиков А4. В итоге все оказалось элементарно, а я в дебри полез.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 16
 Сообщение Добавлено: 21 май 2018, 13:47 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5673
Откуда: Москва
Подробности:
vyv2 писал(а):
В треугольник АВС вписана окружность I. DE, FG, HM - касательные к окружности I , параллельне АС, АВ, ВС соответтвенно. `O, O_1, O_2, O_3` - центры описанных окружностей вокруг треугольников ABC, AHM, BDE, CFG. `I_1, I_2, I_3` - центры вписанных окружностей в треуольники AHM, BDE, CFG соответственно. Доказать, что `d, quad d_1, qquad d_2, qquad d_3` параллельн, 2) `d=d_1+d_2+d_3`, где ` qquad d=OI , qquad d_1=O_1 I_1 ,qquad d_2=O_2 I_2, qquad d_3=O_3 I_3`.
Изображение

Треугольники `ABC, quad AHM, quad BDE, quad CFG` - подобные треугольники с соответственно
параллельными сторонами, поэтому любые "четверки" соответственных отрезков
тоже параллельны. `d_1+d_2+d_3=d*k_1+d*k_2+d*k_3=dP_(1)/P+dP_(2)/P+dP_(3)/P=d(P_(1)+P_(2)+P_(3))/P=d.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 16
 Сообщение Добавлено: 21 май 2018, 14:15 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 233
OlG писал(а):
`d_1+d_2+d_3=d*k_1+d*k_2+d*k_3=dP_(1)/P+dP_(2)/P+dP_(3)/P=d(P_(1)+P_(2)+P_(3))/P=d.`


Спасибо. Недотумкал до того что коэффициенты подобия можно выразить через периметры....


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 16
 Сообщение Добавлено: 21 май 2018, 15:16 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5673
Откуда: Москва
У Юрия Владимировича в этой теме совсем недавно были похожие задачи:

Окружности 3_2,

Окружности 3_1.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 16
 Сообщение Добавлено: 21 май 2018, 18:26 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 233
OlG писал(а):
У Юрия Владимировича в этой теме совсем недавно были похожие задачи:

Окружности 3_2,

Окружности 3_1.


Спасибо, там задач очень много, пытаюсь в меру свободного времени просматривать не решенные и как вижу зря)


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: