Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Геометрия » Планиметрия от vyv2




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 22_2
 Сообщение Добавлено: 23 май 2018, 21:29 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4974
Откуда: Санкт-Петербург
В треугольник АВС вписана окружность с центром I . М - середина высоты АН. Доказать, чо M, I, F лежат на одной прямой, где F - точка касания ВС и вневписанной окружности треугольника АВС относительно стороны ВС.
Вложение:
321.png
321.png [ 37.28 KIB | Просмотров: 1313 ]

Похожая задача: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 22_1 viewtopic.php?f=941&t=15986

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 22_2
 Сообщение Добавлено: 24 май 2018, 14:08 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 251
Вложение:
240518.png
240518.png [ 29.42 KIB | Просмотров: 1236 ]

Через `I` построим прямую `n` ортогональную `BC`. Прямая `n` пересечет вписанную `ABC` в точке `N_1` расположенной диаметрально относительно `N_2` точки касания вписанной к `BC`.

Построим прямую `FA` так как она пройдет через `N_1` то так как `N_1N_2 parallel AH`, а прямая `FI` делит `N_1N_2` пополам, то `{N_1I}/{IN_2}={AM}/{MH}=1 =>AM=MH`.

Доказательство
Докажем через гомотетию. Строим прямую `AN_2` она пересечет вневписанную окружность в точке `N_3`. Через точку `N_3` строим прямую параллельную `BC->B_1C_1`. `triangle ABCsimtriangleAB_1C_1`с гомотетией относительно точки `A`, Соответственно если провести аналогичную гомотетию в другую сторону превратив вписанную `ABC` в вневписанную `AB_2C_2` то `F->N_1=>A,N_1,F є AF`.

Подробности:
Если я не ошибаюсь, это первая задача на доказательство принадлежности точки прямой, которую я решал после школы, и смог решить достаточно строго.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 22_2
 Сообщение Добавлено: 24 май 2018, 15:50 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6791
Откуда: Москва
Подробности:
vyv2 писал(а):
В треугольник АВС вписана окружность с центром I . М - середина высоты АН. Доказать, чо M, I, F лежат на одной прямой, где F - точка касания ВС и вневписанной окружности треугольника АВС относительно стороны ВС.
Изображение
Похожая задача: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 22_1 viewtopic.php?f=941&t=15986

1. `S_(ABC)=1/2h_(a)a=(p-a)r_a quad => quad (r_(a))/(h_(a)+r_(a))=a/(b+c).`

2. `A_(1)=AE cap BC, quad DeltaA A_(1)H sim DeltaEA_(1)F quad => quad (FA_(1))/(A_(1)C)=(r_a)/(h_a), quad (FA_(1))/(FC)=(r_(a))/(h_(a)+r_(a))=a/(b+c).`

3. По теореме Менелая `quad (AI)/(IA_(1))*(FA_(1))/(FC)*(HM)/(AM)=(b+c)/a*a/(b+c)*1/1=1 quad => quad M,quad I,quad F quad` лежат на одной прямой.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 22_2
 Сообщение Добавлено: 24 май 2018, 16:21 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 251
Подробности:
OlG писал(а):

1. `S_(ABC)=1/2h_(a)a=(p-a)r_a quad => quad (r_(a))/(h_(a)+r_(a))=a/(b+c).`

2. `A_(1)=AE cap BC, quad DeltaA A_(1)H sim DeltaEA_(1)F quad => quad (FA_(1))/(A_(1)C)=(r_a)/(h_a), quad (FA_(1))/(FC)=(r_(a))/(h_(a)+r_(a))=a/(b+c).`

3. По теореме Менелая `quad (AI)/(IA_(1))*(FA_(1))/(FC)*(HM)/(AM)=(b+c)/a*a/(b+c)*1/1=1 quad => quad M,quad I,quad F quad` лежат на одной прямой.

Спасибо. Я тоже копал в сторону площадей, но потом показалось проще через гомотетию зайти.

А т-ма Менелая как была китайской грамотой, так и осталась... Вот что значит когда она отсутствует в школьной программе. С теоремой Чевы разобраться было гораздо проще, а после того как на этом форуме познакомился с методом геометрических масс, и вывел её, стало вообще просто.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: