Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Геометрия » Планиметрия от vyv2




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 25
 Сообщение Добавлено: 25 май 2018, 21:00 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4757
Откуда: Санкт-Петербург
В треугольник АВС вписана окружность О радиусом r. Окружность О пересекает ОА, ОВ и ОС в точках D, E, F соответственно.
Доказать, что `r=sqrt(r_a*r_b)+sqrt(r_a*r_c)+sqrt(r_b*r_c)`, где `r_a, r_b, r_c` - радиусы окружностей, касающихся сторон треуольника и окружности О в точках D, E, F соответственно.
Вложение:
454.png
454.png [ 32.64 KIB | Просмотров: 283 ]

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 25
 Сообщение Добавлено: 28 май 2018, 10:06 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5446
Откуда: Москва
Подробности:
vyv2 писал(а):
В треугольник АВС вписана окружность О радиусом r. Окружность О пересекает ОА, ОВ и ОС в точках D, E, F соответственно.
Доказать, что `r=sqrt(r_a*r_b)+sqrt(r_a*r_c)+sqrt(r_b*r_c)`, где `r_a, r_b, r_c` - радиусы окружностей, касающихся сторон треуольника и окружности О в точках D, E, F соответственно.
Изображение

1. Приятно было узнать, что за 8 лет задача не была решена без тригонометрии.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 25
 Сообщение Добавлено: 28 май 2018, 10:40 
В сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 162
OlG писал(а):
1. Приятно было узнать, что за 8 лет задача не была решена без тригонометрии.


Вроде и подсказка есть что радиус вписанной равен сумме средне геометрических радиусов меньших окружностей, а решить не выходит. Тригонометрию применить, я если честно, не догадался.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 25
 Сообщение Добавлено: 28 май 2018, 10:45 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5446
Откуда: Москва
2. `p=(2rsqrt(rr_(a)))/(r-r_(a))+(2rsqrt(rr_(b)))/(r-r_(b))+(2rsqrt(rr_(b)))/(r-r_(b)), quad p-a=(2rsqrt(rr_(a)))/(r-r_(a)), quad p-b=(2rsqrt(rr_(b)))/(r-r_(b)), quad p-c=(2rsqrt(rr_(c)))/(r-r_(c)).`

3. `pr=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), quad sqrt(p)r=sqrt((p-a)(p-b)(p-c)), quad pr^2=(p-a)(p-b)(p-c),`

`((2rsqrt(rr_(a)))/(r-r_(a))+(2rsqrt(rr_(b)))/(r-r_(b))+(2rsqrt(rr_(b)))/(r-r_(b)))r^2=(8r^4sqrt(rr_(a)r_(b)r_(c)))/((r-r_(a))(r-r_(b))(r-r_(c))), quad sqrt(r_(a))(r-r_(b))(r-r_(c))+sqrt(r_(b))(r-r_(a))(r-r_(c))+sqrt(r_(c))(r-r_(a))(r-r_(b))=4r sqrt(r_(a)r_(b)r_(c)).`

4. `{(r^2-(sqrt(r_(a)r_(b))+ sqrt(r_(a)r_(c))+ sqrt(r_(a)r_(b))+( sqrt(r_(a)r_(b)r_(c)))/(sqrt(r_(a))+sqrt(r_(b))+sqrt(r_(c))))r +(sqrt(r_(a)r_(b))+ sqrt(r_(a)r_(c))+ sqrt(r_(a)r_(b)))*( sqrt(r_(a)r_(b)r_(c)))/(sqrt(r_(a))+sqrt(r_(b))+sqrt(r_(c)))=0),(r gt r_(a)),(r gt r_(b)),(r gt r_(c)):} quad, quad r=sqrt(r_(a)r_(b))+ sqrt(r_(a)r_(c))+ sqrt(r_(a)r_(b)).`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 25
 Сообщение Добавлено: 28 май 2018, 10:49 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5446
Откуда: Москва
5. С тригонометрией задачка решалась 5,5 лет с применением Wolfram и Mathcad.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Вписанные и вневписанные окружности в треугольник 25
 Сообщение Добавлено: 28 май 2018, 10:50 
В сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 162
OlG писал(а):
2. `p=(2rsqrt(rr_(a)))/(r-r_(a))+(2rsqrt(rr_(b)))/(r-r_(b))+(2rsqrt(rr_(b)))/(r-r_(b)), quad p-a=(2rsqrt(rr_(a)))/(r-r_(a)), quad p-b=(2rsqrt(rr_(b)))/(r-r_(b)), quad p-c=(2rsqrt(rr_(c)))/(r-r_(c)).`

3. `pr=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), quad sqrt(p)r=sqrt((p-a)(p-b)(p-c)), quad pr^2=(p-a)(p-b)(p-c),`

`((2rsqrt(rr_(a)))/(r-r_(a))+(2rsqrt(rr_(b)))/(r-r_(b))+(2rsqrt(rr_(b)))/(r-r_(b)))r^2=(8r^4sqrt(rr_(a)r_(b)r_(c)))/((r-r_(a))(r-r_(b))(r-r_(c))), quad sqrt(r_(a))(r-r_(b))(r-r_(c))+sqrt(r_(b))(r-r_(a))(r-r_(c))+sqrt(r_(c))(r-r_(a))(r-r_(b))=4r sqrt(r_(a)r_(b)r_(c)).`

4. `{(r^2-(sqrt(r_(a)r_(b))+ sqrt(r_(a)r_(c))+ sqrt(r_(a)r_(b))+( sqrt(r_(a)r_(b)r_(c)))/(sqrt(r_(a))+sqrt(r_(b))+sqrt(r_(c))))r +(sqrt(r_(a)r_(b))+ sqrt(r_(a)r_(c))+ sqrt(r_(a)r_(b)))*( sqrt(r_(a)r_(b)r_(c)))/(sqrt(r_(a))+sqrt(r_(b))+sqrt(r_(c)))=0),(r gt r_(a)),(r gt r_(b)),(r gt r_(c)):} quad, quad r=sqrt(r_(a)r_(b))+ sqrt(r_(a)r_(c))+ sqrt(r_(a)r_(b)).`

Очень интересно, но без пояснений не все ясно. Буду разбираться, спасибо.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: