Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Геометрия » Планиметрия от vyv2




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Прямоугольный треугольник 22
 Сообщение Добавлено: 11 июл 2018, 14:00 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4812
Откуда: Санкт-Петербург
В прямоугольном треугольнике АВС BD - высота к гипотенузе АС, r - радиус вписанной окружности, ВЕ и BF - биссектрисы углов ABD и DBC. Доказать, что `r=(a+b)/2`, где a и b - перпендикуляры из Е и F на АВ и ВС соответственно.
Вложение:
220.png
220.png [ 14.39 KIB | Просмотров: 416 ]

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Прямоугольный треугольник 22
 Сообщение Добавлено: 12 июл 2018, 13:35 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 195
1. Представим пятиугольник описанный вокруг окружности, 3 угла у которого прямые:

Вложение:
120718 1.png
120718 1.png [ 13.02 KIB | Просмотров: 377 ]

`AN=MC=r`, `NB=BM` - как касательные к окружности `=>AB=BC=AN+NB=BM+MC=>/_CAB=/_BCA` но `/_CAB=/_ACH=>/_BCA=/_ACH=>CA` - биссектриса `/_BCH`.

2. Вернемся к задаче:
`triangleBGE=triangleBED=>GE=GD=a`,
`triangleBDF=triangleBFH=>DF=FH=b`,
`ED+DF=2r=>r={a+b}/2`.


Подробности:
Не могу со стопроцентной уверенностью утверждать является ли доказательство из п. 1 общим случаем.... Но другого пока не придумал.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Прямоугольный треугольник 22
 Сообщение Добавлено: 12 июл 2018, 14:34 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5569
Откуда: Москва
Race писал(а):
Подробности:
Не могу со стопроцентной уверенностью утверждать является ли доказательство из п. 1 общим случаем.... Но другого пока не придумал.

1. Почему не можете утверждать? Доказательство - нормальное.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Прямоугольный треугольник 22
 Сообщение Добавлено: 12 июл 2018, 15:55 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5569
Откуда: Москва
Подробности:
vyv2 писал(а):
В прямоугольном треугольнике АВС BD - высота к гипотенузе АС, r - радиус вписанной окружности, ВЕ и BF - биссектрисы углов ABD и DBC. Доказать, что `r=(a+b)/2`, где a и b - перпендикуляры из Е и F на АВ и ВС соответственно.
Изображение

2. Кратко алгебраически:

`(GE+FH)/2=(ED+DF)/2=1/2((((c^2)/b)*h_(b))/(h_(b)+c)+(((a^2)/b)*h_(b))/(h_(b)+a))=(ac)/(2b)((c^2)/(ac+bc)+(a^2)/(ac+ab))=(ac)/(2b)(c/(b+a)+a/(b+c))=`

`=(ac)/(2b)((b-a)/c+(b-c)/a)=(ab-a^2+bc-c^2)/(2b)=(a+c-b)/2=r.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Прямоугольный треугольник 22
 Сообщение Добавлено: 12 июл 2018, 16:08 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5569
Откуда: Москва
Подробности:
vyv2 писал(а):
В прямоугольном треугольнике АВС BD - высота к гипотенузе АС, r - радиус вписанной окружности, ВЕ и BF - биссектрисы углов ABD и DBC. Доказать, что `r=(a+b)/2`, где a и b - перпендикуляры из Е и F на АВ и ВС соответственно.
Изображение

3. Кратко тригонометрически:

`(GE+FH)/2=(ED+DF)/2=h_(b)/2(tg(45^@-alpha/2)+tg(alpha/2))=h_(b)/2*(sin(45^@))/(cos(45^@-alpha/2)cos(alpha/2))=h_(b)/(sqrt2)*1/(cos(45^@-alpha)+cos(45^@))=`

`=h_(b)/(sin alpha+cos alpha+1)=(h_(b)(sin alpha+cos alpha-1))/(2sin alpha cos alpha)=(a+c-b)/2=r.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Прямоугольный треугольник 22
 Сообщение Добавлено: 12 июл 2018, 19:28 
Не в сети

Зарегистрирован: 12 июн 2016, 12:25
Сообщений: 1637
Откуда: Москва
кратко геометрически :


Вложения:
fullsizeoutput_4e8.jpeg
fullsizeoutput_4e8.jpeg [ 371.91 KIB | Просмотров: 337 ]

_________________
Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Прямоугольный треугольник 22
 Сообщение Добавлено: 12 июл 2018, 22:38 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 195
Большое спасибо за решения.
OIG, не могу утверждать так как не доказал невозможность другой конструкции, то есть мной доказан определенный частный случай, но для общего доказательства нету.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Прямоугольный треугольник 22
 Сообщение Добавлено: 13 июл 2018, 01:40 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5569
Откуда: Москва
4. Устно геометрически:

`{(/_CEB=/_CBE=45^@+alpha/2),(/_AFB=/_ABF=45^@+gamma/2):} quad iff quad {(CB=CE),(AB=AF):} quad => quad GE+FH=ED+DF=EF=a+c-b=2r.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Прямоугольный треугольник 22
 Сообщение Добавлено: 13 июл 2018, 03:37 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5569
Откуда: Москва
5. Очень кратко геометрически (рисунок и обозначения под спойлером):
Подробности:
Вложение:
Прям треуг 22 Четыре.pdf [58.69 KIB]
Скачиваний: 53

а) `/_EAO=/_ECO=alpha/2, quad /_FBO=/_FCO=beta/2 quad => quad` вокруг четырехугольников `ACOE` и `BCOF` можно
описать окружности, тогда `/_CEO=alpha/2, quad /_CFO=beta/2 quad => quad OC=OF=OE, quad /_EOF=2*/_ECF=90^@.`

б) `/_KEO=/_KFO=45^@, quad EK=KF=OK=r quad => quad x+y=GE+FH=ED+DF=EF=EK+KF=2r.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: