Математика. Подготовка к ЕГЭ. Решение задач.
http://alexlarin.com/

Правильный треугольник 41
http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=941&t=16172
Страница 1 из 1

Автор:  vyv2 [ 08 авг 2018, 17:16 ]
Заголовок сообщения:  Правильный треугольник 41

В равносторонний треугольник АВС вписан круг с радиусом r, 3 зеленых круга с радиусом а, 7 зеленых круов с радиусом b, 6 белых кругов с радиусом с и окружность `C_1` с радиусом R, которые касаются друг друга. Доказать, что 1) `a=3/5r`, 2) `b=r/5`, 3) `c=r/10`.
Вложение:
1081.png
1081.png [ 37.18 KIB | Просмотров: 634 ]

Автор:  Race [ 10 авг 2018, 13:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильный треугольник 41

Рассмотрим центры желтых и зеленых окружностей касающихся вписанной, несложно заметить, что они образовывают собою правильный шестиугольник с стороной `a+b` (состоит из конгруэнтных треугольников с сторонами `a+b`, `a+b`, `2b+2c` причем один из углов при основании равен `60^@`), из чего мы получаем третье, не очевидное с ходу равенство, помимо расписанных радиусов:
`r=3b+4c` (1);
`R=2a+b=5b+4c` (2);
`a+b=2b+4c=>a=b+4c` (3);
`2(b+4c)+b=5b+4c<=>0=2b-4c=>b=2c=>r=6c+4c=10c<=>c=r/10=>r=3b+4*b/2=>b=r/5`, `a=b+4c=r/5+4*r/10=3/5r`.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/