Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Геометрия » Планиметрия от vyv2




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Равнобедренный треугольник 45
 Сообщение Добавлено: 09 авг 2018, 00:39 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4894
Откуда: Санкт-Петербург
В равнобедренном треугольнике АВС `/_B=20^o`, АB=BC=a, AC=b. Доказать, что 1) `a^3+b^3=3a^2b`, 2) `S_(Delta ABC)=a/4sqrt(b(a+b))`, 3) биссектриса `AD=sqrt((b(a+b))/3)`, 4) радиус вписанной окружности `r=(a sqrt(b(a+b)))/(2(2a+b))` 5) радиус описанной окружности `R=a sqrt(b/(a+b))`.
Вложение:
1274.png
1274.png [ 16.91 KIB | Просмотров: 383 ]

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Равнобедренный треугольник 45
 Сообщение Добавлено: 09 авг 2018, 00:57 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1692
Первое равенство, с кубами - одноходовка с синусом тройного угла.

Все остальное - еще скучнее.

А вы что хотели - тригонометрии или у вас есть что-то более геометричное?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Равнобедренный треугольник 45
 Сообщение Добавлено: 09 авг 2018, 06:11 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4894
Откуда: Санкт-Петербург
alex123 писал(а):
Первое равенство, с кубами - одноходовка с синусом тройного угла.
Все остальное - еще скучнее.
А вы что хотели - тригонометрии или у вас есть что-то более геометричное?

Хотелось бы без тригонометрии. Я объяснял почему.
Можно попробовать идею дополнительного построения :
Вложение:
1274a.png
1274a.png [ 20.07 KIB | Просмотров: 362 ]

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Равнобедренный треугольник 45
 Сообщение Добавлено: 09 авг 2018, 15:04 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1692
vyv2 писал(а):
alex123 писал(а):
Первое равенство, с кубами - одноходовка с синусом тройного угла.
Все остальное - еще скучнее.
А вы что хотели - тригонометрии или у вас есть что-то более геометричное?

Хотелось бы без тригонометрии. Я объяснял почему.
Можно попробовать идею дополнительного построения :
Вложение:
1274a.png


Боюсь, что это тоже тригонометрия, слегка замаскированная под геометрию.

А я то думал, что есть что-то красивое, вроде как немного преобразовать правую и левую части равенства и представить это как равенство каких-то отрезков или площадей.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Равнобедренный треугольник 45
 Сообщение Добавлено: 09 авг 2018, 15:22 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4894
Откуда: Санкт-Петербург
alex123 писал(а):
vyv2 писал(а):

Можно попробовать идею дополнительного построения :
Вложение:
1274a.png


Боюсь, что это тоже тригонометрия, слегка замаскированная под геометрию.

А я то думал, что есть что-то красивое, вроде как немного преобразовать правую и левую части равенства и представить это как равенство каких-то отрезков или площадей.


Это не тригонометия. из подобия ранобедреннх треугольников : `a/b=b/c=(a-c)/(a-2b)`. Исключая с , получим `a^3+b^3=3a^2b`.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Равнобедренный треугольник 45
 Сообщение Добавлено: 09 авг 2018, 15:25 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5702
Откуда: Москва
Подробности:
vyv2 писал(а):
В равнобедренном треугольнике АВС `/_B=20^o`, АB=BC=a, AC=b. Доказать, что 1) `a^3+b^3=3a^2b`, 2) `S_(Delta ABC)=a/4sqrt(b(a+b))`, 3) биссектриса `AD=sqrt((b(a+b))/3)`, 4) радиус вписанной окружности `r=(a sqrt(b(a+b)))/(2(2a+b))` 5) радиус описанной окружности `R=a sqrt(b/(a+b))`.
Изображение

1.
а) `AE quad - quad` биссектриса `DeltaCAD, quad CF perp AD.`

б) `DC=(ab)/(a+b), quad DF=(DC)/2=(ab)/(2(a+b)), quad CF=(ab sqrt3)/(2(a+b)), quad CE=(b^2)/a, quad DE=b/a*(a^2-ab-b^2)/(a+b).`

в) `(AD)/(AC)=(DE)/(CE) quad => quad AD=(a^2-ab-b^2)/(a+b), quad AF=(2a^2-3ab-2b^2)/(2(a+b)).`

г) `AF^2+CF^2=AC^2, quad ((2a^2-3ab-2b^2)/(2(a+b)))^2+((ab sqrt3)/(2(a+b)))^2=b^2 quad => quad a^3+b^3=3a^2b.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Равнобедренный треугольник 45
 Сообщение Добавлено: 09 авг 2018, 15:26 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5702
Откуда: Москва
3. `{(a^3+b^3=3a^2b),( AD=(a^2-ab-b^2)/(a+b)):} quad => quad AD=sqrt((b(a+b))/3).`

4. `r=sqrt(AO^2-(b/2)^2)=sqrt(((a+b)/(2a+b)*sqrt((b(a+b))/3))^2-(b/2)^2)=(a sqrt(b(a+b)))/(2(2a+b)).`

2. `S_(Delta ABC)=p*r=a/4sqrt(b(a+b)).`

5. `a^2=(2R)*h_(B)=(2R)*(2*a/4sqrt(b(a+b)))/b quad => quad R=a sqrt(b/(a+b)).`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Равнобедренный треугольник 45
 Сообщение Добавлено: 09 авг 2018, 15:26 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1692
vyv2 писал(а):

Это не тригонометия. из подобия ранобедреннх треугольников :


Тригонометрия - она вся из подобия треугольников :)

И любую "тригонометрическую формулу" можно доказать "чисто геометрически".

Так что не убедили, но спорить не буду.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Равнобедренный треугольник 45
 Сообщение Добавлено: 09 авг 2018, 15:29 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5702
Откуда: Москва
6. Решать с подсказками - неинтересно.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: