Исходное неравенство равносильно совокупности двух систем:
`[({(x(a(x+1)+4)=(x+1)^2),(x(a(x+1)+4)>0),(x> -1):}),({(xa(x+1)=(x+1)^2),(xa(x+1)>0),(x> -1):}):}qquad<=>qquad[({((a-1)x^2+(a+2)xx-1=0),(x(ax+a+4)>0),(x> -1):}),({((a-1)x^2+(a-2)x-1=0),(ax(x+1)>0),(x> -1):}):}`
Проверим `a=1`. Первая система имеет один корень `x=1/3`, вторая не имеет корней. Следовательно совокупность имеет одно решение.
Теперь займёмся второй системой. Дискриминант уравнения равен `a^2`. Корни - `-1` и `1/(1-a)`.
При `a<0` решение системы будет выглядеть так:
То есть, система имеет одно решение.
При `0<a<1` - так:
Система решений не имеет.
При `a>1` решение всё той же второй системы будет выглядеть так:
Система имеет одно решение.
При `a=0` первая система имеет одно решение, вторая решений не имеет, следовательно совокупность имеет одно решение.
Теперь первая система. Дискриминант уравнения равен `a^2+8a` и, поскольку вторая система имеет либо один корень, либо не имеет вовсе, он должен быть больше или равен нулю, то есть `a<=-8` и `a>0` (ноль уже проверили).
Рассмотрим `a< -8`.
Решение двух неравенств первой системы выглядит при этом следующим образом:
Уравнение имеет два отрицательных корня, так как `f(0)=-1`, ветви направлены вниз и `x_B<0`
Если оба эти корня входят в промежуток `((-a-4)/a;0)`, то `f((-a-4)/a)<0`
Проверяем, получаем `f((-a-4)/a)=(4a-6)/a^2<0`. Значит при `a< -8` - два корня. И во второй системе один корень, следовательно совокупность имеет три корня.
При `a=-8` - один корень `x=-1/3`. И во второй системе один корень, следовательно совокупность имеет два корня.
Рассмотрим `0<a<1`.
Решение неравенств:
Ветви параболы по прежнему направлены вниз, `f(0)=-1`, но `x_B>0`, поэтому уравнение имеет два положительных корня. С учётом того, что у второй системы при этих `a` корней нет, то совокупность имеет два корня.
Рассмотрим `a>1`
Решение двух неравенств:
Ветви параболы теперь направлены вверх и уравнение с учётом того, что `f(0)=-1` имеет корни разных знаков. Следовательно система имеет одно решение, а совокупность два.
Ответ: `{-8}uu(0;1)uu(1+oo)`.