Утром не успела опубликовать, а сейчас вижу, что решение практически повторяет WWS и Raisa Все-таки выложу, потому что больше всех видно, что устное))
Подробности:
№ 18 Если уравнение имеет указанные в условии корни, то левая часть уравнения представляется в виде `2x^3+ax^2+bx+c=2(x-sinalpha)(x-cosalpha)(x-tgalpha)`, откуда очевидно, что свободный член `c=-2sin^2alpha`. Т.к. с одной стороны, `c` - целое, а с другой - `-2<=-2 sin^2alpha<=0`, то `c` может принимать значения 0; -1; -2. Если `c=0`, то `sinalpha=0`, но тогда `tgalpha=0`, и уравнение не имеет 3-х различных корней. Если `c=-2`, то ` sin^2alpha=1`, тогда `cosalpha=0`, и тангенс альфы не существует. Если `c=-1`, то ` sin^2alpha=1/2` => ` sinalpha=+-1/(sqrt2)`, `cosalpha=+-1/(sqrt2)`. Т.к. по условию задачи `sinalpha` и `cosalpha` - различные числа, то корнями уравнения будут числа `1/(sqrt2)`, `-1/(sqrt2)` и `-1`. Получаем `2x^3+ax^2+bx+c=2(x-1/(sqrt2))(x+1/(sqrt2))(x+1)=2(x^2-1/2)(x+1)=(2x^2-1)(x+1)=2x^3+2x^2-x-1`. Единственное уравнение, удовлетворяющее условию, - `2x^3+2x^2-x-1=0`
сергей королев
Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №173
Утром не успела опубликовать, а сейчас вижу, что решение практически повторяет WWS и Raisa Все-таки выложу, потому что больше всех видно, что устное))
Подробности:
№ 18 Если уравнение имеет указанные в условии корни, то левая часть уравнения представляется в виде `2x^3+ax^2+bx+c=2(x-sinalpha)(x-cosalpha)(x-tgalpha)`, откуда очевидно, что свободный член `c=-2sin^2alpha`. Т.к. с одной стороны, `c` - целое, а с другой - `-2<=-2 sin^2alpha<=0`, то `c` может принимать значения 0; -1; -2. Если `c=0`, то `sinalpha=0`, но тогда `tgalpha=0`, и уравнение не имеет 3-х различных корней. Если `c=-2`, то ` sin^2alpha=1`, тогда `cosalpha=0`, и тангенс альфы не существует. Если `c=-1`, то ` sin^2alpha=1/2` => ` sinalpha=+-1/(sqrt2)`, `cosalpha=+-1/(sqrt2)`. Т.к. по условию задачи `sinalpha` и `cosalpha` - различные числа, то корнями уравнения будут числа `1/(sqrt2)`, `-1/(sqrt2)` и `-1`. Получаем `2x^3+ax^2+bx+c=2(x-1/(sqrt2))(x+1/(sqrt2))(x+1)=2(x^2-1/2)(x+1)=(2x^2-1)(x+1)=2x^3+2x^2-x-1`. Единственное уравнение, удовлетворяющее условию, - `2x^3+2x^2-x-1=0`
Спасибо, Dixi! Теперь хорошо видно, насколько устное это задание.
Alex521
Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №173
Утром не успела опубликовать, а сейчас вижу, что решение практически повторяет WWS и Raisa Все-таки выложу, потому что больше всех видно, что устное))
Подробности:
№ 18 Если уравнение имеет указанные в условии корни, то левая часть уравнения представляется в виде `2x^3+ax^2+bx+c=2(x-sinalpha)(x-cosalpha)(x-tgalpha)`, откуда очевидно, что свободный член `c=-2sin^2alpha`. Т.к. с одной стороны, `c` - целое, а с другой - `-2<=-2 sin^2alpha<=0`, то `c` может принимать значения 0; -1; -2. Если `c=0`, то `sinalpha=0`, но тогда `tgalpha=0`, и уравнение не имеет 3-х различных корней. Если `c=-2`, то ` sin^2alpha=1`, тогда `cosalpha=0`, и тангенс альфы не существует. Если `c=-1`, то ` sin^2alpha=1/2` => ` sinalpha=+-1/(sqrt2)`, `cosalpha=+-1/(sqrt2)`. Т.к. по условию задачи `sinalpha` и `cosalpha` - различные числа, то корнями уравнения будут числа `1/(sqrt2)`, `-1/(sqrt2)` и `-1`. Получаем `2x^3+ax^2+bx+c=2(x-1/(sqrt2))(x+1/(sqrt2))(x+1)=2(x^2-1/2)(x+1)=(2x^2-1)(x+1)=2x^3+2x^2-x-1`. Единственное уравнение, удовлетворяющее условию, - `2x^3+2x^2-x-1=0`
Спасибо, Dixi! Теперь хорошо видно, насколько устное это задание.
Спасибо!
Подробности:
А я вот так "устно" в уме прикидывал и подгонял под условие задачи
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения