Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net



 Страница 8 из 17 [ Сообщений: 162 ] На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ... 17  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №190
 Сообщение Добавлено: 27 мар 2017, 01:50 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 03 сен 2016, 12:04
Сообщений: 333
Откуда: Москва
14
Странно,что ещё никто не решал.
Подробности:
а)На точках `P,Q,R` можно построить окружность,поскольку пирамида правильная ,а `AP=BQ=CR=>PQR||ABC`-значит точки `P,Q,R` равноудалены друг от друга,то есть `Delta PQR` правильный.

Пусть `O`,`O_1`,`O_2`-центры сферы,окружности,вписанной в треугольник `ABC`,окружности,построенной на точках `P,Q,R` соответственно.`SO_1`-высота правильной пирамиды.

`[(Delta SO_2A),(Delta SO_1A):}:`Пусть `P'`-проекция точки `P`на прямую `AO_1`.Данные треугольники подобны по двум углам `<A=<P`- как соответственные,`<O_1=<O_2'`-как доказано в начале `ABC||PQR`,а `SO_1 perp ABC` значит и `SO_@ perp PQR`.

По условию `(SP)/(AS)=1/3`.Пусть `r`-радиус окружности с центром `O_2` ;;`O_2P=r`.Значит `AO_1=3r`.
Введём трёхмерную систему координат `XYZ` с началом в точке `O`.Если около точке `M,N,K,P,Q,R` можно описать сферу ,то для любой точки ,лежащей на каждой окружности будет выполняться равенство `x^2+y^2+z^2=R^2` ,где `x,y,z` координаты точек.

Выберем точки `W,V` так,что бы они лежали в плоскости `OZX`.Опустим проекции каждой точки `W',V'` на ось `OX`.

Если точки лежат на одной сфере,то `OV=OW=R`,где `R` -радиус сферы.`OW'=O_2W=r;;OV'=O_1V=3r`

По теореме Пифагора `[(Delta OWW"),(Delta OVV'):}:
`WW'=sqrt(R^2-r^2)`

`VV'=sqrt(R^2-9r^2)`

Запишем координаты точек `W,V`

`W(r,0,sqrt(R^2-r^2));;V(3r,0,sqrt(R^2-9r^2))`.Подставим в уравнение сферы `x^2+y^2+z^2=R^2`

`W:`;;;`r^2+R^2-r^2=R^2`;;;`V:9r^2+R^2-9r^2=R^2`;Что верно.

б)
Критический случай будет в тот момент,когда окружность с центром `O_1`будет иметь радиус,равный радиусу сферы.
`O_1M=O_1P=R`;;;`O_1M=(AO_1)/2=3/2*r=R`-в силу правильности `Delta ABC`;

`Delta O_1PP'`По теореме Пифагора `PP'=sqrt(5)/2*r`В то время ,как `AP'=AO_1-r=2r`

`tg<SAO_1=sqrt(5)/4`

`<SAO=arctg sqrt(5)/4`
`(0;arctg sqrt(5)/4)`

Подробности:
Вложение:
_jmVQgT5-eU.jpg
_jmVQgT5-eU.jpg [ 81.37 KIB | Просмотров: 2441 ]

Подробности:
Вложение:
112.jpg
112.jpg [ 79.9 KIB | Просмотров: 2440 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №190
 Сообщение Добавлено: 27 мар 2017, 07:31 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 26 янв 2015, 09:06
Сообщений: 906
Откуда: Кемерово
ITwearsmeout писал(а):
19(б) ???
Подробности:
Необходимо рассмотреть данный многочлен на предмет наличия корней вида `p/q` - несократимой дроби, где `q`-делитель старшего коэффицента(тройки)натуральное число, `p`-делитель свободного коэффицента(`c`), целое число. Получается, что `q=1;3`. т.е., если данный многочлен имеет рациональный корень, то он 100% кратен тройке, либо единице.Отсюда легко доказать, что если у нас два корня кратны тройке(или один кратен, другой нет), то их произведение( значение `c`) то же будет кратно тройке, а значит будет противоречить заданному условию, при котором коэффиценты взаимнопростые.Ну а если `q=1`и в первом, и во втором корне,а `p1` и `p2` - различные числа? Как доказать, что это невозможно?
Не усложняйте, просто подставьте `b=3n,n in NN,\ \x=k,k in ZZ` и увидите...


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №190
 Сообщение Добавлено: 27 мар 2017, 07:57 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 01 дек 2016, 21:47
Сообщений: 71
Владимир Анатольевич писал(а):
ITwearsmeout писал(а):
19(б) ???
Подробности:
Необходимо рассмотреть данный многочлен на предмет наличия корней вида `p/q` - несократимой дроби, где `q`-делитель старшего коэффицента(тройки)натуральное число, `p`-делитель свободного коэффицента(`c`), целое число. Получается, что `q=1;3`. т.е., если данный многочлен имеет рациональный корень, то он 100% кратен тройке, либо единице.Отсюда легко доказать, что если у нас два корня кратны тройке(или один кратен, другой нет), то их произведение( значение `c`) то же будет кратно тройке, а значит будет противоречить заданному условию, при котором коэффиценты взаимнопростые.Ну а если `q=1`и в первом, и во втором корне,а `p1` и `p2` - различные числа? Как доказать, что это невозможно?
Не усложняйте, просто подставьте `b=3n,n in NN,\ \x=k,k in ZZ` и увидите...

Cпасибо, попробую.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №190
 Сообщение Добавлено: 27 мар 2017, 09:05 
Не в сети

Зарегистрирован: 12 июн 2016, 12:25
Сообщений: 1644
Откуда: Москва
nnuttertools писал(а):
14
Странно,что ещё никто не решал.
Подробности:
а)На точках `P,Q,R` можно построить окружность,поскольку пирамида правильная ,а `AP=BQ=CR=>PQR||ABC`-значит точки `P,Q,R` равноудалены друг от друга,то есть `Delta PQR` правильный.

Пусть `O`,`O_1`,`O_2`-центры сферы,окружности,вписанной в треугольник `ABC`,окружности,построенной на точках `P,Q,R` соответственно.`SO_1`-высота правильной пирамиды.

`[(Delta SO_2A),(Delta SO_1A):}:`Пусть `P'`-проекция точки `P`на прямую `AO_1`.Данные треугольники подобны по двум углам `<A=<P`- как соответственные,`<O_1=<O_2'`-как доказано в начале `ABC||PQR`,а `SO_1 perp ABC` значит и `SO_@ perp PQR`.

По условию `(SP)/(AS)=1/3`.Пусть `r`-радиус окружности с центром `O_2` ;;`O_2P=r`.Значит `AO_1=3r`.
Введём трёхмерную систему координат `XYZ` с началом в точке `O`.Если около точке `M,N,K,P,Q,R` можно описать сферу ,то для любой точки ,лежащей на каждой окружности будет выполняться равенство `x^2+y^2+z^2=R^2` ,где `x,y,z` координаты точек.

Выберем точки `W,V` так,что бы они лежали в плоскости `OZX`.Опустим проекции каждой точки `W',V'` на ось `OX`.

Если точки лежат на одной сфере,то `OV=OW=R`,где `R` -радиус сферы.`OW'=O_2W=r;;OV'=O_1V=3r`

По теореме Пифагора `[(Delta OWW"),(Delta OVV'):}:
`WW'=sqrt(R^2-r^2)`

`VV'=sqrt(R^2-9r^2)`

Запишем координаты точек `W,V`

`W(r,0,sqrt(R^2-r^2));;V(3r,0,sqrt(R^2-9r^2))`.Подставим в уравнение сферы `x^2+y^2+z^2=R^2`

`W:`;;;`r^2+R^2-r^2=R^2`;;;`V:9r^2+R^2-9r^2=R^2`;Что верно.

б)
Критический случай будет в тот момент,когда окружность с центром `O_1`будет иметь радиус,равный радиусу сферы.
`O_1M=O_1P=R`;;;`O_1M=(AO_1)/2=3/2*r=R`-в силу правильности `Delta ABC`;

`Delta O_1PP'`По теореме Пифагора `PP'=sqrt(5)/2*r`В то время ,как `AP'=AO_1-r=2r`

`tg<SAO_1=sqrt(5)/4`

`<SAO=arctg sqrt(5)/4`
`(0;arctg sqrt(5)/4)`

Подробности:
Вложение:
_jmVQgT5-eU.jpg

Подробности:
Вложение:
112.jpg

Подробности:
Влад,у Вас логическая ошибка,Вы дожны доказать существование точки `O` ,а Вы используете ее в решении:
"Пусть `O`,`O_1`,`O_2`-центры сферы," и еще строите систему координат с началом в точке,существование которой не доказано,в плоскости`(MSC)`точка пересечения `( SO_1)` и серединного перпендикуляра к `MR`является точкой,равноудаленной от 6 данных,координаты не нужны
по второй части:
Вы пишете :"Критический случай будет в тот момент,когда окружность с "
то есть, центр сферы с уменьшением высоты движется вниз и и в некоторый момент совпадет с точкой `O_1`,интуитивно это ясно(чем меньше угол,тем ниже центр),но доказательством не является(картинка не является доказательством),если угол меньше `arctg(sqrt(5)/4)` ,то центр окажется ниже `O_1`-нужно доказательство
Здесь координаты вполне уместны(ордината центра положительна-центр внутри пирамиды,отрицательна-снаружи,только взять систему координат не в пространстве,а в плоскости `(MSC)`или`(ASK)`)

_________________
Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.


Последний раз редактировалось antonov_m_n 27 мар 2017, 12:05, всего редактировалось 4 раз(а).

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №190
 Сообщение Добавлено: 27 мар 2017, 11:33 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 02 сен 2016, 21:55
Сообщений: 326
Откуда: Санкт-Петербург
Mihail34 писал(а):
Объясните смысл Ларинских заданий?

Чтобы во время подготовки к ЕГЭ не умереть от скуки.

_________________
Математика – это язык, которым с людьми разговаривают боги.
my you tube


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №190
 Сообщение Добавлено: 27 мар 2017, 12:40 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 20 мар 2011, 22:29
Сообщений: 1992
Откуда: Казань
egetrener писал(а):
Апрель приближается. Подтягиваются свежие силы, тщательно вчитываются в задания номер 1 и номер 2 ;;)


Thinker писал(а):
Mihail34 писал(а):
Объясните смысл Ларинских заданий?

Чтобы во время подготовки к ЕГЭ не умереть от скуки.


Изображение Изображение Изображение


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №190
 Сообщение Добавлено: 27 мар 2017, 18:01 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 03 сен 2016, 12:04
Сообщений: 333
Откуда: Москва
antonov_m_n писал(а):
nnuttertools писал(а):
14
Странно,что ещё никто не решал.
Подробности:
а)На точках `P,Q,R` можно построить окружность,поскольку пирамида правильная ,а `AP=BQ=CR=>PQR||ABC`-значит точки `P,Q,R` равноудалены друг от друга,то есть `Delta PQR` правильный.

Пусть `O`,`O_1`,`O_2`-центры сферы,окружности,вписанной в треугольник `ABC`,окружности,построенной на точках `P,Q,R` соответственно.`SO_1`-высота правильной пирамиды.

`[(Delta SO_2A),(Delta SO_1A):}:`Пусть `P'`-проекция точки `P`на прямую `AO_1`.Данные треугольники подобны по двум углам `<A=<P`- как соответственные,`<O_1=<O_2'`-как доказано в начале `ABC||PQR`,а `SO_1 perp ABC` значит и `SO_@ perp PQR`.

По условию `(SP)/(AS)=1/3`.Пусть `r`-радиус окружности с центром `O_2` ;;`O_2P=r`.Значит `AO_1=3r`.
Введём трёхмерную систему координат `XYZ` с началом в точке `O`.Если около точке `M,N,K,P,Q,R` можно описать сферу ,то для любой точки ,лежащей на каждой окружности будет выполняться равенство `x^2+y^2+z^2=R^2` ,где `x,y,z` координаты точек.

Выберем точки `W,V` так,что бы они лежали в плоскости `OZX`.Опустим проекции каждой точки `W',V'` на ось `OX`.

Если точки лежат на одной сфере,то `OV=OW=R`,где `R` -радиус сферы.`OW'=O_2W=r;;OV'=O_1V=3r`

По теореме Пифагора `[(Delta OWW"),(Delta OVV'):}:
`WW'=sqrt(R^2-r^2)`

`VV'=sqrt(R^2-9r^2)`

Запишем координаты точек `W,V`

`W(r,0,sqrt(R^2-r^2));;V(3r,0,sqrt(R^2-9r^2))`.Подставим в уравнение сферы `x^2+y^2+z^2=R^2`

`W:`;;;`r^2+R^2-r^2=R^2`;;;`V:9r^2+R^2-9r^2=R^2`;Что верно.

б)
Критический случай будет в тот момент,когда окружность с центром `O_1`будет иметь радиус,равный радиусу сферы.
`O_1M=O_1P=R`;;;`O_1M=(AO_1)/2=3/2*r=R`-в силу правильности `Delta ABC`;

`Delta O_1PP'`По теореме Пифагора `PP'=sqrt(5)/2*r`В то время ,как `AP'=AO_1-r=2r`

`tg<SAO_1=sqrt(5)/4`

`<SAO=arctg sqrt(5)/4`
`(0;arctg sqrt(5)/4)`

Подробности:
Вложение:
_jmVQgT5-eU.jpg

Подробности:
Вложение:
112.jpg

Подробности:
Влад,у Вас логическая ошибка,Вы дожны доказать существование точки `O` ,а Вы используете ее в решении:
"Пусть `O`,`O_1`,`O_2`-центры сферы," и еще строите систему координат с началом в точке,существование которой не доказано,в плоскости`(MSC)`точка пересечения `( SO_1)` и серединного перпендикуляра к `MR`является точкой,равноудаленной от 6 данных,координаты не нужны
по второй части:
Вы пишете :"Критический случай будет в тот момент,когда окружность с "
то есть, центр сферы с уменьшением высоты движется вниз и и в некоторый момент совпадет с точкой `O_1`,интуитивно это ясно(чем меньше угол,тем ниже центр),но доказательством не является(картинка не является доказательством),если угол меньше `arctg(sqrt(5)/4)` ,то центр окажется ниже `O_1`-нужно доказательство
Здесь координаты вполне уместны(ордината центра положительна-центр внутри пирамиды,отрицательна-снаружи,только взять систему координат не в пространстве,а в плоскости `(MSC)`или`(ASK)`)

Подробности:
Спасибо :) Да,я Вас понял ,постараюсь перерешать :D


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №190
 Сообщение Добавлено: 27 мар 2017, 19:16 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 сен 2016, 20:34
Сообщений: 166
Проверьте, пожалуйста, достаточно ли так рассуждать в 14(а) задаче или надо подробнее какие-то моменты:
Подробности:
1) Так как пирамида правильная, то треугольник в ее основании равносторонний, значит, центр вписанной в этот треугольник окружности - это центр этого треугольника, и это же основание высоты этой правильной пирамиды (обозначим точка Н). Вписанная в равносторонний треугольник окружность касается его сторон в их серединах, значит, точки M, N и K лежат на окружности, вписанной в треугольник ABC.
2) Так как точки P, Q, R делят боковые ребра пирамиды в одном и том же отношении 1:2, считая от вершины, то плоскость PQR параллельна плоскости основания (треугольники SAB и SPQ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, тогда PQ параллельно AB, аналогично QR параллельно BC). То есть треугольник PQR подобен треугольнику АВС с коэффициентом 1/3.
3) Так как пирамида SPQR также правильная, то центр Н1 треугольника PQR также лежит на прямой SH. Точки P, Q, R лежат на окружности, описанной около треугольника PQR, то есть на окружности с центром Н1.
4) Рассмотрим какую-нибудь плоскость, проходящую через прямую НН1. Точки E, F, G, T ее пересечения с окружностями, указанными в пунктах 1 и 3 являются вершинами трапеции (прямые EF и GT параллельны, так как по ним две параллельные плоскости АВС и PQR пересечены третьей, а TE и FG не параллельны, так как радиусы окружностей не равны), причем, в силу симметрии окружностей относительно их центров, а значит и прямой НН1, эта трапеция является равнобедренной.
5) Около равнобедренной трапеции всегда можно описать окружность (сумма противоположных ее углов равна 180 градусов), значит, точки E, F, G, T равноудалены от некоторой точки О. Эта точка О и будет центром сферы, на которой лежат точки M, N, K, P, Q, R.
Действительно, расстояние от точки О до любой точки окружности, проходящей через точки P, Q, R равно корню квадратному из суммы квадрата расстояния от точки О до плоскости РQR и квадрата радиуса этой окружности, и это расстояние то же самое, что до вершин верхнего основания трапеции. Аналогично расстояние от точки О до любой точки окружности, проходящей через точки M, N, K, также равно расстоянию до вершин нижнего основания рассматриваемой трапеции. То есть все точки обеих окружностей находятся на одинаковом расстоянии от точки О, то есть лежат на сфере с центром в точке О, ч. т. д
Вложение:
треугольная пирамида.jpg
треугольная пирамида.jpg [ 14.05 KIB | Просмотров: 2133 ]
Вложение:
трапеция2.jpg
трапеция2.jpg [ 12.06 KIB | Просмотров: 2133 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №190
 Сообщение Добавлено: 27 мар 2017, 19:53 
Не в сети

Зарегистрирован: 12 июн 2016, 12:25
Сообщений: 1644
Откуда: Москва
Златовласка писал(а):
Проверьте, пожалуйста, достаточно ли так рассуждать в 14(а) задаче или надо подробнее какие-то моменты:
Подробности:
1) Так как пирамида правильная, то треугольник в ее основании равносторонний, значит, центр вписанной в этот треугольник окружности - это центр этого треугольника, и это же основание высоты этой правильной пирамиды (обозначим точка Н). Вписанная в равносторонний треугольник окружность касается его сторон в их серединах, значит, точки M, N и K лежат на окружности, вписанной в треугольник ABC.
2) Так как точки P, Q, R делят боковые ребра пирамиды в одном и том же отношении 1:2, считая от вершины, то плоскость PQR параллельна плоскости основания (треугольники SAB и SPQ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, тогда PQ параллельно AB, аналогично QR параллельно BC). То есть треугольник PQR подобен треугольнику АВС с коэффициентом 1/3.
3) Так как пирамида SPQR также правильная, то центр Н1 треугольника PQR также лежит на прямой SH. Точки P, Q, R лежат на окружности, описанной около треугольника PQR, то есть на окружности с центром Н1.
4) Рассмотрим какую-нибудь плоскость, проходящую через прямую НН1. Точки E, F, G, T ее пересечения с окружностями, указанными в пунктах 1 и 3 являются вершинами трапеции (прямые EF и GT параллельны, так как по ним две параллельные плоскости АВС и PQR пересечены третьей, а TE и FG не параллельны, так как радиусы окружностей не равны), причем, в силу симметрии окружностей относительно их центров, а значит и прямой НН1, эта трапеция является равнобедренной.
5) Около равнобедренной трапеции всегда можно описать окружность (сумма противоположных ее углов равна 180 градусов), значит, точки E, F, G, T равноудалены от некоторой точки О. Эта точка О и будет центром сферы, на которой лежат точки M, N, K, P, Q, R.
Действительно, расстояние от точки О до любой точки окружности, проходящей через точки P, Q, R равно корню квадратному из суммы квадрата расстояния от точки О до плоскости РQR и квадрата радиуса этой окружности, и это расстояние то же самое, что до вершин верхнего основания трапеции. Аналогично расстояние от точки О до любой точки окружности, проходящей через точки M, N, K, также равно расстоянию до вершин нижнего основания рассматриваемой трапеции. То есть все точки обеих окружностей находятся на одинаковом расстоянии от точки О, то есть лежат на сфере с центром в точке О, ч. т. д
Вложение:
треугольная пирамида.jpg
Вложение:
трапеция2.jpg

@};-
Подробности:
Все верно,Златовласка,но уж очень сложно,сейчас напишу подсказку для всех

_________________
Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №190
 Сообщение Добавлено: 27 мар 2017, 19:58 
Не в сети

Зарегистрирован: 12 июн 2016, 12:25
Сообщений: 1644
Откуда: Москва
К задаче 14(а):
Множество точек,равноудаленных от вершин треугольника-прямая,перпендикулярная плоскости треугольника и проходящая через центр окружности,описанной около этого треугольника

_________________
Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 8 из 17 [ Сообщений: 162 ] На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ... 17  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: