Осталось доказать.

`log^2_x (2ax+1-a^2)-2log_x (2ax+1-a^2)=0`.
Исходное уравнение равносильно следующей системе:
`{([(log_x(2ax+1-a^2)=0),(log_x(2ax+1-a^2)=2):}),(x>0),(x!=1):}`
Решим каждое уравнение отдельно:
1)`log_x(2ax+1-a^2)=0=>2ax+1-a^2=1<=>2ax=a^2`. Рассмотрим случай, когда `a=0`. В этом случае исходное уравнение примет вид `0=0`, а это значит, при `a=0` исходное уравнение имеет бесконечно много решений на интервале `(0;1)uu(1;+oo)`. При `a!=0` `x_1=a/2`.
Условие существования корня:
`[(0<a/2<1),(a/2>1):}=>0<a<2` или `a>2`.
2)`log_x(2ax+1-a^2)=2=>2ax+1-a^2=x^2<=>x^2-2ax+a^2-1=0. D/4=a^2-a^2+1=1=>x_2=a-1, x_3=a+1`
Условие существования второго корня:
`[(0<a-1<1),(a-1>1):}=>1<a<2` или `a>2`.
Условие существования третьего корня:
`[(0<a+1<1),(a+1>1):}=>-1<a<0` или `a>0`
Проверим найденные корни на совпадения:
1)`a/2=a+1=>a=-2`-не удовлетворяет условиям существования корней; 2)`a/2=a-1=>a=2`-не удовлетворяет условиям существования корней.
Итак, нетрудно заметить, что при `-1<a<0` исходное уравнение имеет единственное решение, при `0<a<1`-два решения, при `1<a<2`-три решения и при `a>2`-так же три решения. Не забывая про значение `a=0`, получаем окончательный ответ:
`a in (1;2)uu(2;+oo)uu{0}`