Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net



 Страница 7 из 11 [ Сообщений: 101 ] На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №199
 Сообщение Добавлено: 26 май 2017, 23:21 
Не в сети

Зарегистрирован: 13 фев 2015, 20:21
Сообщений: 1753
Вредный эксперт может придраться, что не видел теоремы, обратной к теореме о секущей и касательной. :-?
Так что будьте готовы на апелляции привести доказательство или сослаться на какой-либо учебник.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №199
 Сообщение Добавлено: 26 май 2017, 23:51 
Не в сети

Зарегистрирован: 12 июн 2016, 12:25
Сообщений: 879
Откуда: Москва
Маруся17 писал(а):
Всем привет :ymhug: Златовласка, не ты одна за Никитой не успеваешь, но в 16 номере мне повезло, мой вариант решения отличается от других :techie-typing:
Подробности:

Очень понравилась вторая часть,а по первой согласен с Сергеем Константиновичем-надо еще доказать,что` BC`-касательная к окружности,проходящей через точки A,B,D(предположение,что она секущая с помощью данного равенства приводит к противоречию),а зачем ,если есть пара подобных треугольников?

_________________
Нужно бежать со всех ног, чтобы только оставаться на месте, а чтобы куда-то попасть, надо бежать как минимум вдвое быстрее!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №199
 Сообщение Добавлено: 27 май 2017, 00:29 
Не в сети

Зарегистрирован: 12 июн 2016, 12:25
Сообщений: 879
Откуда: Москва
Доказательство "теоремы Маруси ":
Пусть `CB` имеет с окружностью еще одну общую точку,отличную от `B`-точку`B_1`(не является касательной),проведем касательную `CN`,тогда `CN^2=CB*CB_1`,но `CN^2=CA*CD=CB^2=>CN=CB=>CB^2=CB*CB_1=>CB=CB_1=>`
точки `B` и` B_1` совпадают`=>`предположение не верно

_________________
Нужно бежать со всех ног, чтобы только оставаться на месте, а чтобы куда-то попасть, надо бежать как минимум вдвое быстрее!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №199
 Сообщение Добавлено: 27 май 2017, 01:32 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 сен 2016, 17:06
Сообщений: 6
Задача 17.


Вложения:
Л-199-17.PDF [326.55 KIB]
Скачиваний: 1947
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №199
 Сообщение Добавлено: 27 май 2017, 09:24 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 янв 2015, 12:11
Сообщений: 150
Откуда: Омск
Спасибо большое Сергею Константиновичу и Михаилу Николаевичу за ценные замечания! @};- @};- @};- , хотела как лучше, получилось как всегда :-\ , тем более про подобия уже Никита рассказал, на экзамене я мудрить не собираюсь, но все равно спасибо огромное Михаилу Николаевичу за доказательство "теоремы Маруси ", лишней не будет :text-goodpost:


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №199
 Сообщение Добавлено: 27 май 2017, 15:57 
Не в сети

Зарегистрирован: 27 май 2017, 14:02
Сообщений: 2
Well...
Задача №14.
Подпункт а)
Для начала нам надо построить сечение призмы плоскостью альфа
1. Заметим, что `A``A_1 perp (ABC)` и `(AC) perp (BC)`, тогда согласно теореме о трёх перпендикулярах наклонная `(A1C] perp (BC)`
2. Построим в плоскости `(A A_1C)` перпендикуляр через точку `C_1`, `(C_1H) perp (A_1C)`, а также пересекает прямую `(A A_1)` в некоторой точке `K`.
3. Пусть `T` - точка пересечения прямых `(KB_1)` и `(A_1B)`.
4. Рассмотрим треугольники `Delta A_1TK` и `Delta BTB_1`. Они подобны по первому признаку (накрест лежащие `angle A A_1B = angle B_1BA_1` при параллельных прямых `BB_1` и `A A_1` (`A A_1B_1B` - прямоугольник так как призма является прямой) и секущей `A_1 B` и вертикальные углы `angle A_1TK = angle B_1TB) => (A_1K)/(BB_1) = (A_1T)/(BT)`;
5. Аналогично из подобия треугольников `Delta A_1HK` и `Delta CHC_1`: `(A_1K)/(C C_1) =(A_1H)/(HC)`, но так как `BB_1 = C C_1`, то из 4 пункта следует, то что `(A_1H)/(HC) = (A_1T)/(BT)`
6. из 5 подпункта следует, по обратной теореме о пропорциональных отрезках `HT||BC` (это так же можно доказать с помощью подобия треугольников `Delta A_1 HT` и `Delta A_1 CB`)
7. Тогда в плоскости `(A_1CB)`: `(HT) || (BC)`, `(BC) perp (A_1C) => (HT) perp (A_1C)`
8. Теперь не сложно заметить, что можно организовать плоскость через пересекающиеся прямые `HT` и `C_1K`, причем она будет единственной. Прямая `A_1C` будет являться перпендикуляром к этой плоскости по признаку (`HT` и `C_1K` перпендикулярны `A_1C`). Также данная плоскость содержит точки `(TKC_1)`, но плоскость `(B_1C_1K)` тоже содержит эти точки, значит по теореме о единственности плоскости, проходящей через три точки `(B_1C_1K)` совпала с `(TKC_1)` и является искомой плоскостью.
9. Осталось лишь доказать, что `Delta KB_1C_1` является прямоугольным треугольником. Это несложно, достаточно применить теорему о трех перпендикулярах: `(A_1C) perp (B_1C_1K)` (*не пишу альфа, потому что не обладаю навыками в работе с LaTex), наклонная `[C_1A_1) perp (B_1C_1)` (треугольник `Delta A_1B_1C_1` - прямоугольный, значит катеты перпендикулярны), значит проекция `[C_1H) perp (B_1C_1)`, значит треугольник `Delta KC_1B_1` - прямоугольный.

Перейдем к подпункту Б

`V_1` - объем большей отсечённой части призмы, `V_2= (V_(KA_1C_1B_1))` - меньшей.
Тогда `V_1 + V_2 = V` - полный объем призмы
`V = 1/2 * (AC*AB) * (C C_1)`; `(C C_1) = AB = 2*5 = 10` ( треугольник `Delta ABC` - подобен египетскому с коэффициентом `k = 2`)
`V = 1/2 * 8 * 6 * 10 = 240`;
Чтобы найти `V_1` нам нужно узнать положение точки `K` или длину отрезка `[KA1]`;
Заметим, что треугольник `Delta A1C1C` - прямоугольный, `C1H` - высота к гипотенузе, тогда отношение проекций равно квадрату отношения катетов, то есть `(A_1H)/(HC) = ((A_1C_1)/(C C_1))^2 = 16/25`; Но мы доказали, что треугольники `Delta A_1HK` и `Delta CHC_1` подобны причем `(A_1K)/(C C_1) = (A_1H)/(HC) => A_1K = 10*16/25 = 6,4`; так как `A A_1 perp A_1B_1C_1`:`V_2 = V_(K A_1 B_1 C_1) = 1/3 * A_1K* S_(A_1B_1C_1) = 1/3*6,4 *1/2*6*8 = 51,2`;
`V_1 = V - V_2 = 240 - 51,2 =188,8`
Ответ: б) `188, 8`


Вложения:
14c.jpg
14c.jpg [ 197.74 KIB | Просмотров: 9061 ]
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №199
 Сообщение Добавлено: 27 май 2017, 17:12 
Не в сети

Зарегистрирован: 12 июн 2016, 12:25
Сообщений: 879
Откуда: Москва
TypeN4n писал(а):
Well...
Задача №14.
Подпункт а)
Для начала нам надо построить сечение призмы плоскостью альфа
1. Заметим, что AA1 является перпендикуляром к плоскость (ABC) и прямая (AC) перпендикулярна (BC), тогда согласно теореме от трёх перпендикулярах наклонная A1C перпендикулярна BC
2. Построим в плоскости (AA1C) перпендикуляр через точку C1, (C1H) перпендикулярен (A1C), а также пересекает прямую (AA1) в некоторой точке K.
3. Пусть T - точка пересечения прямых (KB1) и (A1B).
4. Рассмотрим треугольники A1TK и BTB1. Они подобны по первому признаку (накрест лежащие углы AA1B = B1BA1 при параллельных прямых BB1 и AA1 (AA1B1B - прямоугольник так как призма является прямой) и вертикальные углы A1TK = B1TB) => A1K/BB1 = A1T/BT;
5. Аналогично из подобия треугольников A1HK и CHC1: A1K/CC1 =A1H/HC, но так как BB1 = CC1, то из 4 пункта следует, то что A1H/HC = A1T/BT
6. из 5 подпункта следует, по обратной теореме о пропорциональных отрезках HT||BC (это так же можно доказать с помощью подобия треугольников A1HT и A1CB)
7. Тогда в плоскости (A1CB): (HT) || (BC), (BC) перпендикулярна (A1C) => (HT) перпендикулярна (A1C)
8. Теперь не сложно заметить, что можно организовать плоскость через пересекающиеся прямые HT и C1K, причем она будет единственной. Прямая A1C будет являться перпендикуляром к этой плоскости по признаку (HT и C1K перпендикулярны A1C). Также данная плоскость содержит точки (TKC1), но плоскость (B1C1K) тоже содержит эти точки, значит по теореме о единственности плоскости, проходящей через три точки (B1C1K) совпала с (TKC1) и является искомой плоскостью.
9. Осталось лишь доказать, что KB1C1 является прямоугольным треугольником. Это несложно, достаточно применить теорему о трех перпендикулярах: (A1C) перпендикулярна к плоскости (B1C1K) (*не пишу альфа, потому что не обладаю навыками в работе с LaTex), наклонная [C1A1) перпендикулярна к (B1C1) (треугольник A1B1C1 - прямоугольный, значит катеты перпендикулярны), значит проекция [C1H) перпендикулярна (B1C1), значит треугольник KC1B1 - прямоугольный.

Перейдем к подпункту Б

V1 - объем большой отсечённой части призмы, V2(V_KA1C1) - меньшей.
Тогда V1 + V2 = V - полный объем призмы
V = 1/2 * (AC*AB) * CC1; CC1 = AB = 2*5 = 10 ( треугольник ABC - подобен египетскому с коэффициентом k = 2)
V = 1/2 * 8 * 6 * 10 = 240;
Чтобы найти V1 нам нужно узнать положение точки K или длину отрезка [KA1];
Заметим, что треугольник A1C1C - прямоугольным, C1H - высота к гипотенузе, тогда отношение проекций равно квадрату отношения катетов то есть A1H/HC = (A1C1/CC1)^2 = 16/25; Но мы доказали, что треугольники A1HK и CHC1 подобны причем A1K/CC1 = A1H/HC => A1K = 10*16/25 = 6,4; так как AA1 перпендикуляр к A1B1C1: V2 = V_KA1B1C1 = 1/3 * A1K* S(A1B1C1) = 1/3*6,4 *6*8 = 51,2;
V1 = V - V2 = 240 - 51,2 =188,8
Ответ: б) 188, 8

Подробности:
Уж больно сложно у Вас решена первая часть,можно проще(не все доказано,но это не решение):
`alpha` пересекает грани по прямым,перпендикулярным к `CA_1=>` эти прямые перпендикулярны к проекциям `CA_1`
на эти грани(теорема о `3_|_`)`=>``C_1B_1subset alpha`, `alpha` пересекает `(ACCC_1)` по прямой,проходящей через `C_1
и перпендикулярной `CA_1`,проводим `C_1KperpCA_1;K in A A_1;DeltaB_1C_1K`-искомое сечение,`B_1C_1perp(ACCC_1)=>
`B_1C_1perpC_1K`

_________________
Нужно бежать со всех ног, чтобы только оставаться на месте, а чтобы куда-то попасть, надо бежать как минимум вдвое быстрее!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №199
 Сообщение Добавлено: 27 май 2017, 17:49 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 окт 2011, 07:26
Сообщений: 2911
В 14а миленько сработает координатный метод))


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №199
 Сообщение Добавлено: 27 май 2017, 18:35 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 29 окт 2014, 22:13
Сообщений: 2548
Решение задачи 14, выполненное координатно-векторным методом, здесь:

viewtopic.php?f=7&t=14524&p=195661#p195661


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №199
 Сообщение Добавлено: 27 май 2017, 21:25 
Не в сети

Зарегистрирован: 26 мар 2017, 15:27
Сообщений: 17
Откуда: Ставрополь
nikitaorel1999 писал(а):
Решение задания 18. :ymdaydream: :ymhug:
Подробности:

:ymhug:

_________________
Нам всегда было свойственно преодолевать невозможное.


Последний раз редактировалось Desolation 28 май 2017, 09:25, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 7 из 11 [ Сообщений: 101 ] На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: