Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net



 Страница 5 из 6 [ Сообщений: 51 ] На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №294
 Сообщение Добавлено: 02 янв 2020, 19:21 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 27 дек 2015, 11:32
Сообщений: 562
Откуда: г. Октябрьск
Задание 15
Подробности:
Вложение:
29415 (1).jpg
29415 (1).jpg [ 92.45 KIB | Просмотров: 3783 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №294
 Сообщение Добавлено: 02 янв 2020, 21:08 
Не в сети

Зарегистрирован: 07 июн 2016, 12:51
Сообщений: 72
antonov_m_n писал(а):
Согласен с мнением Григорича : уровень 6 задачи не соответствует первой части , очень понравилось решение OLG , 14 задачу уже решали ( расстояние между прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями , в которых они лежат , то есть трети диагонали ) , в 16 интересно , что диагонали пятиугольника делят друг друга в золотом отношении ( как в правильном) , хотя правильным он быть не обязан
Мой вариант решения задачи 6 :


Приведу и мой вариант решения задачи 6:


Вложения:
6_trvar294.jpg
6_trvar294.jpg [ 15.09 KIB | Просмотров: 3761 ]
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Логический пробел в решениях задачи 6
 Сообщение Добавлено: 02 янв 2020, 23:54 
Не в сети

Зарегистрирован: 02 янв 2020, 23:33
Сообщений: 15
Задача 6.
В других сообщениях несколькими способами фактически доказано лишь то, что если тр-к ABC, удовлетворяющий условиям задачи существует, то его площадь равна 21. Остаётся предъявить хотя бы один такой треугольник. Это несложно: A(0;0), B(0;7), C(6;0), K(0;7/3), M(2;14/3), O(6/7;2)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №294
 Сообщение Добавлено: 03 янв 2020, 17:37 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 29 окт 2014, 22:13
Сообщений: 3030
Как это здорово! "То товарищ Коба, то товарищ Сталин" (Из старых учебников).
Однако, выживают специалисты. Этим и выигрывает сайт Александра Ларина! Там выросли замечательные специалисты.
Не зря этот сайт уважают и любят везде и всюду.
:text-bravo:


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №294
 Сообщение Добавлено: 03 янв 2020, 20:11 
Не в сети

Зарегистрирован: 26 мар 2018, 20:20
Сообщений: 10
Kirill Kolokolcev писал(а):
Решение задачи 14
Подробности:
Вложение:
14.png
Вложение:
14.png

Решение задачи 16
Подробности:
Вложение:
16.png

почему в 16 задаче ,SA3A4O =K?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №294
 Сообщение Добавлено: 04 янв 2020, 00:21 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 1185
Откуда: Москва
Artemy050 писал(а):
Kirill Kolokolcev писал(а):
Решение задачи 14
Подробности:
Вложение:
14.png
Вложение:
14.png

Решение задачи 16
Подробности:
Вложение:
16.png

почему в 16 задаче ,SA3A4O =K?

Из подобия треугольников `A_2A_3O` и `A_4A_1O` следует, что `A_2O:A_4O=k`, или же `A_2O=kA_4O`; `S_{A_2A_3O}=1/2\cdotA_2O\cdot h=1/2\cdot kA_4O\cdot h=kS_{A_3A_4O}`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re:Ещё раз про задачу 16
 Сообщение Добавлено: 04 янв 2020, 11:02 
Не в сети

Зарегистрирован: 02 янв 2020, 23:33
Сообщений: 15
Всё же интересно - существуют ли неправильные пятиугольники, удовлетворяющие условиям задачи 16 ? Оказалось, что не просто существуют, а их бесконечно много. Любой из них можно получить, применяя линейное преобразование на плоскости с определителем 1 (или -1) к правильному пятиугольнику (все площади при этом сохраняются). Простейший вариант - сначала сжать к оси Ox с коэффициентом 2, а затем растянуть вдоль той же оси с тем же коэффициентом, т.е. по формуле (x,y)->(2*x,1/2*y) .
См. рисунок ниже (центр правильного пятиугольника в начале координат, направления осей - обычные):
Изображение


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Решения задач 6 и 16 в пакете Maple
 Сообщение Добавлено: 07 янв 2020, 12:33 
Не в сети

Зарегистрирован: 02 янв 2020, 23:33
Сообщений: 15
Для тех, кто умеет пользоваться математическими пакетами (Maple, Mathematica, MathCad и т.п. ) возможно будет интересно узнать, что весьма непростые задачи 6 и 16 можно без особых проблем решать автоматически, используя что-то из вышеупомянутого софта. Так как я сам работаю с Maple, ниже приводится полный код для решения в этом пакете. Разумеется использован координатный метод, т.е точки задаютя списком своих координат. Например в задаче 6 мы без потери общности можем задать A(0,0) , B(x0,0) , С(x1,y1) , M((1-s)*A+s*B) и так далее. Затем, используя условия задачи, составляем систему уравнений для нахождения всех неизвестных и решаем эту систему используя очень мощную встроенную функцию solve . Кроме основного результата S=21 , мы получаем массу дополнительной информации. Например, мы видим, что множество таких треугольников бесконечно и зависит от двух параметров x1 и y1 . Найденные значения s=1/3 и t=1/3 однозначно определяют положения точек M и K . Для построения мы берём x1=2, y1=6 .
Конечно полученную систему можно решать и вручную. В задаче 6 это совсем просто.

Задача 16 решается аналогично задаче 6.

Код для решения задачи 6 и построения:

restart;
# Код для вычисления
local O:
A:=<0,0>: B:=<x1,y1>: C:=<x0,0>: M:=(1-s)*A+s*B: K:=(1-t)*B+t*C:
S:=(A,B,C)->1/2*LinearAlgebra:-Determinant(<C-A|C-B>):
AK:=(y-A[2])/(K[2]-A[2])=(x-A[1])/(K[1]-A[1]):
CM:=(y-C[2])/(M[2]-C[2])=(x-C[1])/(M[1]-C[1]):
O:=eval(<x,y>,solve({AK, CM}, {x,y})):
sys:={S_ABC=S(A,C,B),S(A,O,M)=1,S(O,C,K)=8,S(A,C,O)=S(M,O,B)+S(O,K,B),x1>0,y1>0}:
sol:=solve(sys);

# Код для построения
A,B,C,M,K,O:=convert~(eval(eval([A,B,C,M,K,O],sol[2..4]),[x1=2,y1=6]),list)[];
with(plots): with(plottools):
ABC:=curve([A,B,C,A], color=red, thickness=3):
AK:=line(A,K, color=blue, thickness=2):
CM:=line(C,M, color=blue, thickness=2):
Points:=[A,B,C,M,K,O]:
PointsNames:=["A","B","C","M","K","O"]:
T:=textplot([seq([op(Points[i]),PointsNames[i]],i=1..6)], font=[times,20], align=above):
display(ABC,AK,CM,T, scaling=constrained, size=[500,400]);

Результат:
Изображение

Код для решения задачи 16 и построения:

restart;
local D:
A,B,C,D,E:=<0,0>,<x0,0>,<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y3>:
S:=(A,B,C)->1/2*LinearAlgebra:-Determinant(<B-A|C-A>):
sol:=solve({S(A,B,C)=1,S(B,C,D)=1,S(C,D,E)=1,S(D,E,A)=1,S(E,A,B)=1,S_ABCDE=2+S(A,C,D),S_ABCDE>2}, explicit);
Cos:=(v1,v2)->(v1[1]*v2[1]+v1[2]*v2[2])/sqrt(v1[1]^2+v1[2]^2)/sqrt(v2[1]^2+v2[2]^2):
simplify(arccos(eval(Cos(B-A,C-E),sol)));

Params:={x0=2,x2=1/2}:
A,B,C,D,E:=convert~(eval([A,B,C,D,E],eval(sol[3..8],Params) union Params),list)[];
with(plots): with(plottools):
ABCDE:=curve([A,B,C,D,E,A], color=red, thickness=3):
AC:=line(A,C, color=blue, thickness=2):
BD:=line(B,D, color=blue, thickness=2):
CE:=line(C,E, color=blue, thickness=2):
DA:=line(D,A, color=blue, thickness=2):
EB:=line(E,B, color=blue, thickness=2):
Points:=[A,B,C,D,E]:
PointsNames:=["A","B","C","D","E"]:
T:=textplot([seq([op(Points[i]),PointsNames[i]],i=1..5)], font=[times,20], align=above):
display(ABCDE,AC,BD,CE,DA,EB,T, scaling=constrained, size=[600,500]);

Результат:
Изображение

Преимущество координатного метода перед другими состоит в том, что он имеет очень широкое поле применения и прост в использовании. Мы можем не знать теорему Менелая или каких-то других "хитрых" геометрических теорем. Просто задаём нужные нам объекты, используя координаты, и по условию задачи составляем систему уравнений и/или неравенств на числовые параметры этих объектов. Конечно какие-то стандартные формулы необходимо знать, например выше использована известная формула для площади треугольника через координаты его вершин, формула для угла между векторами через координаты и т.п.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №294
 Сообщение Добавлено: 08 янв 2020, 23:27 
Не в сети

Зарегистрирован: 27 мар 2015, 21:06
Сообщений: 374
№6.Захотелось заморочиться :doh:
Подробности:
Вложение:
№6.jpg
№6.jpg [ 941.99 KIB | Просмотров: 2656 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №294
 Сообщение Добавлено: 13 янв 2020, 08:35 
Не в сети

Зарегистрирован: 13 янв 2020, 08:30
Сообщений: 1
Какой приём вы использовали в 13 номере? Помогите, пожалуйста.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 5 из 6 [ Сообщений: 51 ] На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 24

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: